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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 函数f(x)在R上具有连续导数，|f(x)-f'(x)|≦1求证|f(x)|≦1
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jeato

木虫 (小有名气)

[求助] 函数f(x)在R上具有连续导数，|f(x)-f'(x)|≦1求证|f(x)|≦1 已有4人参与

函数f(x)在R上具有连续导数，|f(x)-f'(x)|≦1求证|f(x)|≦1

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1楼 2014-05-07 00:03:18
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
如果


则


令，则
于是就有：



两边对t从0到x进行积分就得到：



上式当时导出f(x)无界。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
13楼2014-05-07 14:19:10
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
命题不成立!
比如f指数函数f(x)=e^x满足有连续导数
且f(x)=f'(x),所以f(x)-f'(x)=0;
但|f(x)|<1并不不成立!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2014-05-07 00:49:30
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
如果你要求函数有界这个超级强的限制， 那答案是显然的，原因如下：

假如 函数有最大值或最小值，比如 f(a), 那么 f'(a)=0 （Fermat小定理）因此 |f(a)| <=1.

假如函数没有最大或最小值， 那么必然是单调的， 比如单调上升。 这时候要证明一个引理， 有界可导函数的导函数 f'(x)在无穷远处为零。

因此 .
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We_must_know. We_will_know.
11楼2014-05-07 11:44:17
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普通回帖

jeato

木虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2014-05-07 00:49:30
命题不成立!
比如f指数函数f(x)=e^x满足有连续导数
且f(x)=f'(x),所以f(x)-f'(x)=0;
但|f(x)|<1并不不成立!

()() 可是e^x是无界

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3楼2014-05-07 07:48:51
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)
引用回帖:
3楼: Originally posted by jeato at 2014-05-07 07:48:51
()() 可是e^x是无界
...

你的条件里面没有无界这一条件啊!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
4楼2014-05-07 09:12:11
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
将题目修改为：
命题：设，其中a，b是给定常数，如果，则。
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5楼2014-05-07 09:29:18
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jeato

木虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by wurongjun at 2014-05-07 09:12:11
你的条件里面没有无界这一条件啊!...

题目要求f有界

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6楼2014-05-07 09:39:37
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jeato

木虫 (小有名气)
有界函数f(x)在R上具有连续导数，|f(x)-f'(x)|≦1求证|f(x)|≦1

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7楼2014-05-07 09:40:35
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jeato

木虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-05-07 09:29:18
将题目修改为：
命题：设f(x)=a\sin x+b\cos x，其中a，b是给定常数，如果\mid f(x)-f'(x)\mid\leq 1，则\mid f(x)\mid\leq\frac{\sqrt{2}}{2}。

要求f有界

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8楼2014-05-07 09:40:49
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jeato

木虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by jeato at 2014-05-07 07:48:51
()() 可是e^x是无界
...

要求f是有界函数

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9楼2014-05-07 09:41:36
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
7楼: Originally posted by jeato at 2014-05-07 09:40:35
有界函数f(x)在R上具有连续导数，|f(x)-f'(x)|≦1求证|f(x)|≦1

函数f(x)在R上具有连续导函数，如果满足条件：


则f(x)不可能是有界的。
因此楼主的命题条件不协调，需要修正。
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10楼2014-05-07 11:24:49
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