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【求助】为什么闭算子的D(T)不是闭集 已有8人参与
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闭算子是说（x.Tx）是闭图像，我现在看了许多泛函分析的参考书，仍然非常迷惑： 为什么闭算子的定义域D(T)不是闭集？ 我始终认为D(T)是闭集，原因在于 由x(n)趋近于 x和x 属于D(T)，可推知D(T)是闭集 [ Last edited by javeey on 2010-4-26 at 09:02 ] |
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javeey(金币+2):谢谢回帖交流 2010-04-26 09:03
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javeey(金币+2):谢谢回帖交流 2010-04-26 09:03
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（x.Tx）是闭图像的一个等价说法是：由xn属于D(T)且xn->x,Txn->y可以推出x属于D(T)且y=Tx。其中不能缺少Txn->y这个条件吧。 一个定义域为非闭集的闭算子的例子： 考虑[0,1]上连续函数的全体C[0,1],D(T)=C^1[0,1],T为导数算符，则T是闭线性算子，但此时按照C[0,1]上的距离(d(f,g)=max|f-g|)C^1[0,1]并不是其完备子空间，由于度量空间上子空间的完备性与闭性等价，C^1[0,1]也就不是闭的。 最后，根据BLT定理，连续线性算子（必为闭算子）的定义域可以延拓到其闭包上从而在这个意义下可以将其看作是定义在闭集上的算子，但对于一般的闭算子(比如上面举的无界算子)似乎就没有相关的结论了。 |
2楼2010-04-26 02:52:32
luomingqi
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3楼2010-04-26 08:01:35
Pchief
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javeey(金币+3):很有价值的回答 2010-04-26 19:29
bluesine(数学EPI+1):EPI 2010-04-28 16:57
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bluesine(数学EPI+1):EPI 2010-04-28 16:57
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一个线性算子 T: D(T)→Y，其中D(T)是赋范线性空间X的一个子空间，叫做闭算子，指的是T的图像 G(T) = {(x, Tx) | x∈D(T) } 在乘积空间X×Y中是闭集。 按照度量空间中闭集的性质，G(T)是闭集当且仅当G(T)中的每个收敛点列的极限仍属于G(T)。因此如果点列 ( x(n), T x(n) )——其中每个x(n)∈D(T)——在 X×Y 中收敛于 (x, y)（等价于 x(n) 在 X 中收敛于 x，同时 Tx(n) 在 Y 中收敛于 y） 则 (x, y) ∈ G(T)，也就是说，x∈D(T) 且 y=Tx。 重要的是要理解，并不是随便拿 D(T) 中一个收敛的点列来，它的极限都属于 D(T)。只有满足特殊条件的收敛点列 x(n) ，才能保证它的极限仍在 D(T) 中。这个特殊条件就是 T x(n) 必须在 Y 中收敛。如果不满足这一条，那么 x(n) 收敛的时候它的极限是完全可以跑到 D(T) 外面去的。 好比说令 X = C[0,1]，Y=X，D(T) = C1[0,1]，即在[0,1]上有连续导数的实值函数全体。T 是求导运算。设 x(n) → x 和 Tx(n) → y。这就是说，作为 [0,1]上的函数，x(n) 一致收敛于 x，同时它的导数 Tx(n) 一致收敛到某个函数 y。按照数学分析中的定理，x 在[0,1] 上是有导数的，而且这导数就等于 y。作为一串连续函数 T x(n)一致收敛的极限，y 还是连续的。因此 x ∈ D(T) 且 y=Tx。但是如果把 Tx(n) → y 这个条件去掉就不对了，好比说我们知道，在[0,1] 上是存在着处处连续但是无处可导的函数 x，显然这个 x 是不属于 D(T) 的，但是按照外氏（Weierstrass）第一逼近定理，存在多项式序列 x(n)——显然每个 x(n) ∈ D(T)——在[0,1]上一致收敛于x，即在 C[0,1] 中收敛于 x。 |
4楼2010-04-26 19:11:03
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Pchief
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(0,1)是(0,1)这个空间中的闭集，研究对象不对，不构成反例吧… 【拓扑中有所谓的“相对开闭”的说法，全空间与空集本身既是开集又是闭集】 发自小木虫Android客户端 |
9楼2016-01-11 20:06:20
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