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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 二元凸函数的连续性证明
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songhuali

木虫 (正式写手)

[求助] 二元凸函数的连续性证明

哪位大侠帮帮忙：证明二元凸函数z=F(x,y)在凸区域D上连续。
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乐在其中
1楼2011-09-26 11:08:46
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

songhuali(金币+10): 谢谢，看了半天还没看懂，无语……………… 2011-12-03 16:15:36
先证明一元凸函数在区间内点是连续的
１、令f(x)=[F(x)-F(a)]/(x-a)，则由凸函数的定义可知：F(x)在x=a的领域内是单调有界的
２、因f(x)单调有界，所以单侧极限是存在的，即：F(x)在x=a单侧导数是存在的。因而得到f(x)单侧连续。所以双侧连续。
再证明F(x,y)在区域内点是连续的。
１、F(x,y)凸函数，可知F关于变量x是凸函数（固定y），所以关于变量x是连续函数。同理F关于y是连续函数。
２、对任意小的正数epsilon，存在delta，使得：当|x-a|和|y-b| |F(x,y)-F(a,b)| {(x,b)||x-a| 所以只需要取在以(a,b)为圆心，以delta/sqrt(2)为半径的圆中，就有
|f(x,y)-f(a,b)|
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2楼2011-11-22 21:00:23
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

哪步没看懂？
是一元凸函数在定义区间内部是连续的，还是用一元凸函数的结论来证明二元函数连续？
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3楼2011-12-03 18:54:27
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songhuali

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by jfili at 2011-12-03 18:54:27:
哪步没看懂？
是一元凸函数在定义区间内部是连续的，还是用一元凸函数的结论来证明二元函数连续？

是证明二元函数连续部分。
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乐在其中
4楼2011-12-03 20:51:44
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
lovibond(金币+3): 耐心交流，值得鼓励 2011-12-04 10:02:31
songhuali(金币+40): 谢谢 2011-12-04 20:06:22
设f(x,y)是凸的，不妨设原点在此集合内部，只需要证明f(x,y)在原点连续。否则令F(x,y)=f(x-a,y-b)，要证f在(a,b)连续，只要证F在原点连续；不妨设f(0,0)=0，否则令F(x,y)=f(x,y)-f(0,0)，而F的连续性等价于f(x,y)的连续性，只需证F在原点连续
1、如果f(x,y)在E=[-a,a]*[-a,a]上凸函数（其中a为大于0的某常数，且此集合在所设集合内部，自然有此凸性），下面证明f(x,0)在[-a,a]上为凸函数
由f(x,y)的凸性可知，对任意点(x1,y1),(x2,y2)于E内，0 有f(kx1+(1-k)x2,ky1+(1-k)y2)>=kf(x1,y1)+(1-k)f(x2,y2)
在y1=0,y2=0自然也成立，
即：f(kx1+(1-k)x2),0)>=kf(x1,0)+(1-k)f(x2,0)，
所以f(x,0)为关于x的一元凸函数
2、由一元函数的凸性可知：f(x,0)在x=0点连续；同理f(0,y)在y=0也连续
3、对任意的正数epsilon，存在delta，使得：
当|x|<=delta时，|f(x,0)| 4、下面证明，当x^2+y^2 |f(x,y)|
对任意的不在坐标轴上A(x,y)，不妨设x>0,y>0（其他情况相同的讨论）。

连接A与B1(delta,0)，则过AB1的直线一定与y轴相交，设交点为C1(0,y1),且A在B1C1之间，且C在圆G之内。
设k为B1A与B1C1线段长度的比值（0 则有f(x,y)=f(k delta,(1-k)y1)>=kf(x1,0)+(1-k)f(0,y1)>=-epsilon;

连续A与B2(-delta,0)，设AB2与y轴交于C2(0,y2)，且C2在AB2之间，设AC2与AB2线段长度之比为k，则0 f(0,y2)=f(kx+(1-k)(-delta),ky)>=kf(x,y)+(1-k)f(-delta,0)，所以
epsilon>=[*********(上一行的不等式)]>=kf(x,y)-(1-k)epsilon，即
f(x,y)<=epsilon.

所以得到了-epsilon<=f(x,y)<=epsilon（当(x,y)在原点的领域B中）。由连续函数的定义得到f(x,y)在原点连续

说明：直线连接不必拘泥于以上两条，只要直线与x轴和y轴的两交点在步骤3中就可以；f(x,y)的下界用A在两交点之间说明，上界用一交点在A与另一交点之间来说明
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5楼2011-12-04 00:20:59
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