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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 导函数极限与导数的关系 疑问
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xmccxpydjr

新虫 (初入文坛)

[求助] 导函数极限与导数的关系 疑问

我困扰于这个问题已经很久了，故此发上来求教于大家，望不吝赐教，感激不尽。
假设F(x)在x0的邻域导数处处存在，那么我们知道此点的导数和导函数在此点的极限不一定相同（当然，大多数情况是相同的），也即在x0处F（x）的导函数f(x)不连续，且仅仅存在第二类间断点中的震荡间断点。但是，我想请教：F（x）-F（x0）/(x-x0)=f(ξ),作为拉格朗日定理，当x趋近于x0时，一方面我们知道它是导数的定义，且已经存在；另外一方面，ξ趋近于x0，也就是导函数f(ξ)趋近于f（x0），这不正说明两者一定相等吗？也就是不存在两者不相等的情况，不存在所谓震荡间断点。请问我的思路到底是哪里错了？

[ Last edited by xmccxpydjr on 2012-9-9 at 20:52 ]
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1楼2012-09-09 20:47:32
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xxxfield

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
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xmccxpydjr: 金币+3, ★★★很有帮助, 不错不错 2012-09-10 20:51:16
xmccxpydjr: 回帖置顶 2012-09-10 20:58:17
这个问题提的非常好，楼主有这样的疑惑真是值得肯定。主要问题是对中值定理的理解。因为中值定理只能保证在[x0, x]之间存在一个ξ，当x变化时，ξ=ξ(x)随之变化，但ξ(x)的性质一点都不知道，他可能连连续函数都不是。尽管当x->x0时，ξ=ξ(x)->x0，因此有f(ξ)->F'(x0)。这不错，但f(ξ)->F'(x0)并不能推出f(x)->F'(x0)。ξ(x)可能只取到x0附近的部分值，而不一定取到x0附近的所有值。f(ξ)->F'(x0)相当于存在[x0,x]中的一个子集，当ξ在这个子集内趋向于x0时，f(ξ)->F'(x0)。（问题相当于有一个子列收敛并不能保证整个序列收敛）
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xmccxpydjr
5楼2012-09-10 14:01:21
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
你的"假设F(x)在x0的邻域导数处处存在“包含了F(x)在x0的导数存在， 当然也就是你后来的结论。如果挖去一个点， 即"假设F(x)在x0的空心邻域导数处处存在， 就会有可能“x0的左右导数有一不存在或不相等，就会出现你说的”第二类间断点中的震荡间断点“
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学好外语，不忘数学！
2楼2012-09-09 21:32:46
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xiangqianzsh

木虫 (著名写手)
定理中还有一句话：假设导函数的极限存在，所以此时等式成立。如果没有这句话，等式右侧的那个取极限就没有意义，所以就这个等式也就没意义了。
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3楼2012-09-09 22:36:52
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yijifeixia

铜虫 (小有名气)
多看看条件才是

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4楼2012-09-10 06:34:28
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xmccxpydjr

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Jackie2011 at 2012-09-09 21:32:46
你的"假设F(x)在x0的邻域导数处处存在“包含了F(x)在x0的导数存在， 当然也就是你后来的结论。如果挖去一个点， 即"假设F(x)在x0的空心邻域导数处处存在， 就会有可能“x0的左右导数有一不存在或不相等， ...

我觉得我的假设没问题，就是要讨论某区域处处存在导数，但导数不连续的可能性。而我按照错误的理解，就推导出一定连续。还是谢谢啦～

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6楼2012-09-10 20:29:19
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xmccxpydjr

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by xiangqianzsh at 2012-09-09 22:36:52
定理中还有一句话：假设导函数的极限存在，所以此时等式成立。如果没有这句话，等式右侧的那个取极限就没有意义，所以就这个等式也就没意义了。

我觉得拉格朗日中值定理并不需要你说的条件，只要导数处处存在就可以了～谢谢～

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7楼2012-09-10 20:31:50
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xmccxpydjr

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by yijifeixia at 2012-09-10 06:34:28
多看看条件才是

谢谢提醒～

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8楼2012-09-10 20:32:22
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xmccxpydjr

新虫 (初入文坛)
送鲜花一朵
引用回帖:
5楼: Originally posted by xxxfield at 2012-09-10 14:01:21
这个问题提的非常好，楼主有这样的疑惑真是值得肯定。主要问题是对中值定理的理解。因为中值定理只能保证在之间存在一个ξ，当x变化时，ξ=ξ(x)随之变化，但ξ(x)的性质一点都不知道，他可能连连续函数都不是。尽管 ...

看了您的回帖，我觉得您理解的特别深刻。我又结合您的思路思考了一下，发现确实如此，这个式子本身说明当x趋近于x0时，存在极限（对于所有的x都取遍了），而这个式子再换成x和x0之间的一个数的导数值，只能得到离散的无穷个多个点，当其趋近于x0时，极限为x0点导数，而非所有的x点。另外，由于存在离散的导函数收敛于此点导数，所以，此点只能是第二类间断点。并且，所谓不连续的导函数上的中值定理也就不难直观的理解了。真的很感谢哈！

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9楼2012-09-10 20:46:37
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xiangqianzsh

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by xmccxpydjr at 2012-09-10 20:31:50
我觉得拉格朗日中值定理并不需要你说的条件，只要导数处处存在就可以了～谢谢～
...

当然需要了.我不是说拉格朗日中值定理这里,而是取极限时的那个地方.

不然 f`(x)=lim f(eta)  就不立了.[因为这时候   有限值=不存在的数,当然等式不成立了.]
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xmccxpydjr
10楼2012-09-10 20:52:00
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