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导函数极限与导数的关系 疑问
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我困扰于这个问题已经很久了，故此发上来求教于大家，望不吝赐教，感激不尽。 假设F(x)在x0的邻域导数处处存在，那么我们知道此点的导数和导函数在此点的极限不一定相同（当然，大多数情况是相同的），也即在x0处F（x）的导函数f(x)不连续，且仅仅存在第二类间断点中的震荡间断点。但是，我想请教：F（x）-F（x0）/(x-x0)=f(ξ),作为拉格朗日定理，当x趋近于x0时，一方面我们知道它是导数的定义，且已经存在；另外一方面，ξ趋近于x0，也就是导函数f(ξ)趋近于f（x0），这不正说明两者一定相等吗？也就是不存在两者不相等的情况，不存在所谓震荡间断点。请问我的思路到底是哪里错了？ [ Last edited by xmccxpydjr on 2012-9-9 at 20:52 ] |
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| 这个问题提的非常好，楼主有这样的疑惑真是值得肯定。主要问题是对中值定理的理解。因为中值定理只能保证在[x0, x]之间存在一个ξ，当x变化时，ξ=ξ(x)随之变化，但ξ(x)的性质一点都不知道，他可能连连续函数都不是。尽管当x->x0时，ξ=ξ(x)->x0，因此有f(ξ)->F'(x0)。这不错，但f(ξ)->F'(x0)并不能推出f(x)->F'(x0)。ξ(x)可能只取到x0附近的部分值，而不一定取到x0附近的所有值。f(ξ)->F'(x0)相当于存在[x0,x]中的一个子集，当ξ在这个子集内趋向于x0时，f(ξ)->F'(x0)。（问题相当于有一个子列收敛并不能保证整个序列收敛） |
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