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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 函数f(x)在R上具有连续导数，|f(x)-f'(x)|≦1求证|f(x)|≦1
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
如果你要求函数有界这个超级强的限制， 那答案是显然的，原因如下：

假如 函数有最大值或最小值，比如 f(a), 那么 f'(a)=0 （Fermat小定理）因此 |f(a)| <=1.

假如函数没有最大或最小值， 那么必然是单调的， 比如单调上升。 这时候要证明一个引理， 有界可导函数的导函数 f'(x)在无穷远处为零。

因此 .
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We_must_know. We_will_know.
11楼2014-05-07 11:44:17
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jeato

木虫 (小有名气)
引用回帖:
10楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-05-07 11:24:49
函数f(x)在R上具有连续导函数，如果满足条件：
\mid f(x)-f'(x)\mid\leq 1
则f(x)不可能是有界的。
因此楼主的命题条件不协调，需要修正。...

你取fx=1/2sinx就是明显成立的

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12楼2014-05-07 12:20:33
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
如果


则


令，则
于是就有：



两边对t从0到x进行积分就得到：



上式当时导出f(x)无界。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
13楼2014-05-07 14:19:10
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pctwo

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
13楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-05-07 14:19:10
如果\mid f(x)-f'(x)\mid\leq 1
则-1\leq f'(x)-f(x)\leq 1
令f(x)=c(x)e^x，则f'(x)=(c(x)+c'(x))e^x
于是就有：
-1\leq c'(x)e^x\leq 1
-e^{-t}\leq c'(t)\leq e^{-t}
两边对t从0到x进行积分就得到：
e^{- ...

如果f(x) = 0.5呢？
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14楼2014-05-08 10:32:22
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pctwo

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
13楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-05-07 14:19:10
如果\mid f(x)-f'(x)\mid\leq 1
则-1\leq f'(x)-f(x)\leq 1
令f(x)=c(x)e^x，则f'(x)=(c(x)+c'(x))e^x
于是就有：
-1\leq c'(x)e^x\leq 1
-e^{-t}\leq c'(t)\leq e^{-t}
两边对t从0到x进行积分就得到：
e^{- ...

当c(0) <1时，你最后一个不等式只能推出 -\infty <f(x) < \infty.
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15楼2014-05-08 10:36:03
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pctwo

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
11楼: Originally posted by hank612 at 2014-05-07 11:44:17
如果你要求函数有界这个超级强的限制， 那答案是显然的，原因如下：

假如 函数有最大值或最小值，比如 f(a), 那么 f'(a)=0 （Fermat小定理）因此 |f(a)| <=1.

假如函数没有最大或最小值， 那么必然是单调的 ...

意思接近了，但是有界区间情形时需要考虑致密性。无界区间情况，你的引理是不对的，比如周期函数。
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16楼2014-05-08 10:41:42
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
15楼: Originally posted by pctwo at 2014-05-08 10:36:03
当c(0) <1时，你最后一个不等式只能推出 -\infty <f(x) < \infty....

当c（0）<1时，令得到


同样产生一个矛盾！
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
17楼2014-05-08 11:37:31
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
16楼: Originally posted by pctwo at 2014-05-08 10:41:42
意思接近了，但是有界区间情形时需要考虑致密性。无界区间情况，你的引理是不对的，比如周期函数。...

恩，考虑不周了。
换个思路， 假设 存在某点使得 f(a)>1.  那么明显地 f'(a) >=b= (f(a)-1)>0.  那么在x=a的右侧小邻域内f(x)>f(a).

由于函数的局部最大值(在导数为零处取到)最多为1，因此函数值 当 x>a时，f(x)>f(a)永远成立(函数值降不下来)。这又使得 f'(x)>=b>0 一直保持下去。 那么 f(x) >= b(x-a)+f(a) 对所有 x>a 成立， 这样的函数是无界的。

总算找到矛盾了

对了，如果 f(a) <-1, 考虑 g(x)=-f(x)就可以同理了。
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We_must_know. We_will_know.
18楼2014-05-08 12:35:49
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼主的命题似乎并不成立。比如f(x)=e^x，在R上具有连续导数，
f'(x)=f(x)=e^x，
ABS[f(x)-f'(x)]≡0
但lim(x-->∞)ABS[f(x)]--->∞ 。
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19楼2014-05-08 13:31:31
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jeato

木虫 (小有名气)
引用回帖:
19楼: Originally posted by peterflyer at 2014-05-08 13:31:31
楼主的命题似乎并不成立。比如f(x)=e^x，在R上具有连续导数，
f'(x)=f(x)=e^x，
ABS≡0
但lim(x-->∞)ABS--->∞ 。

我开始漏了函数有界的条件

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20楼2014-05-08 15:51:34
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