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jeato

木虫 (小有名气)

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[求助] 函数f(x)在R上具有连续导数，|f(x)-f'(x)|≦1求证|f(x)|≦1 已有4人参与

函数f(x)在R上具有连续导数，|f(x)-f'(x)|≦1求证|f(x)|≦1

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1楼 2014-05-07 00:03:18

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

16楼: Originally posted by pctwo at 2014-05-08 10:41:42
意思接近了，但是有界区间情形时需要考虑致密性。无界区间情况，你的引理是不对的，比如周期函数。...

恩，考虑不周了。
换个思路，假设存在某点使得 f(a)>1. 那么明显地 f'(a) >=b= (f(a)-1)>0. 那么在x=a的右侧小邻域内f(x)>f(a).

由于函数的局部最大值(在导数为零处取到)最多为1，因此函数值当 x>a时，f(x)>f(a)永远成立(函数值降不下来)。这又使得 f'(x)>=b>0 一直保持下去。那么 f(x) >= b(x-a)+f(a) 对所有 x>a 成立，这样的函数是无界的。

总算找到矛盾了