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jeato

木虫 (小有名气)

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[求助] 函数f(x)在R上具有连续导数，|f(x)-f'(x)|≦1求证|f(x)|≦1已有4人参与

函数f(x)在R上具有连续导数，|f(x)-f'(x)|≦1求证|f(x)|≦1

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1楼2014-05-07 00:03:18

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

如果你要求函数有界这个超级强的限制，那答案是显然的，原因如下：

假如函数有最大值或最小值，比如 f(a), 那么 f'(a)=0 （Fermat小定理）因此 |f(a)| <=1.

假如函数没有最大或最小值，那么必然是单调的，比如单调上升。这时候要证明一个引理，有界可导函数的导函数 f'(x)在无穷远处为零。

因此 $| f(a) | < max( |f(\infty) - f'(\infty)|, |f(-\infty) - f'(-\infty)) \le 1$ .