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jeato

木虫 (小有名气)

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[求助] 函数f(x)在R上具有连续导数，|f(x)-f'(x)|≦1求证|f(x)|≦1 已有4人参与

函数f(x)在R上具有连续导数，|f(x)-f'(x)|≦1求证|f(x)|≦1

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1楼 2014-05-07 00:03:18

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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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如果

$\mid f(x)-f'(x)\mid\leq 1$

则

$-1\leq f'(x)-f(x)\leq 1$

令 $f(x)=c(x)e^x$ ，则 $f'(x)=(c(x)+c'(x))e^x$
于是就有：

$-1\leq c'(x)e^x\leq 1$

$-e^{-t}\leq c'(t)\leq e^{-t}$

两边对t从0到x进行积分就得到：

$e^{-x}-1\leq c(x)-c(0)\leq -e^{-x}+1$

$1+(c(0)-1)e^x\leq f(x)\leq(1+c(0))e^x-1$

上式当 $x\to\infty$ 时导出f(x)无界。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

13楼2014-05-07 14:19:10

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wurongjun

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

命题不成立!
比如f指数函数f(x)=e^x满足有连续导数
且f(x)=f'(x),所以f(x)-f'(x)=0;
但|f(x)|<1并不不成立!

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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.

2楼2014-05-07 00:49:30

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jeato

木虫 (小有名气)

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2楼: Originally posted by wurongjun at 2014-05-07 00:49:30
命题不成立!
比如f指数函数f(x)=e^x满足有连续导数
且f(x)=f'(x),所以f(x)-f'(x)=0;
但|f(x)|<1并不不成立!

()() 可是e^x是无界

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3楼2014-05-07 07:48:51

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wurongjun

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引用回帖:

3楼: Originally posted by jeato at 2014-05-07 07:48:51
()() 可是e^x是无界
...

你的条件里面没有无界这一条件啊!

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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.

4楼2014-05-07 09:12:11

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