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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】一道关于连续和导数的证明题【已解决】
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xianjunlong

银虫 (正式写手)

[交流] 【求助】一道关于连续和导数的证明题【已解决】 已有4人参与

1. 已知函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明对于任何自然数k，至少存在一点c\in (a,b)，使得f的导数在c的值=f的k阶导数在c的值

[ Last edited by javeey on 2010-5-12 at 17:27 ]
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1楼 2010-05-07 19:01:34
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
javeey(金币+1):同意你的说法 2010-05-08 13:49:47
你的证明问的有问题吧，条件说f可导，不特别说明的话是一阶可导，证明部分缺要求f至少也有k阶导数。。。。

条件是不是要求改为：无穷次可导
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板凳要做十年冷文章不发一个字
2楼2010-05-07 19:49:49
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onesupeng

金虫 (职业作家)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
bluesine(金币+1):呵呵，他这个是要求f ' (c) 而不是f(c)，所以你这个例子不合适。 2010-05-07 21:03:44
举个反例说明。

f=sin[Pi*x]在[0，1]上连续无穷导，而其二次导为-Pi^2 sin[Pi*x]，其图像和f在（0，1）中没有交点。说以这个题目本身就有点问题，除了楼上说得之外
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长期招收博士生，参见http://fsl-unsw.com
3楼2010-05-07 20:36:21
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onesupeng

金虫 (职业作家)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
bluesine(金币+1):这个例子还是不行f(0.5)=0的条件不满足。再想一下试试 2010-05-08 12:50:16
不好意思，看错了

再举一例;

y=x^2在[0，0.5]，而y'和y‘’的交点在定义域之外
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长期招收博士生，参见http://fsl-unsw.com
4楼2010-05-07 21:24:59
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xianjunlong

银虫 (正式写手)
bluesine:看看楼下的反例 2010-05-08 16:48:59
这是一道2006年国防科技大学数学模拟竞赛题，按理说应该不会有问题
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5楼2010-05-07 23:10:51
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xianjunlong

银虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by onesupeng at 2010-05-07 21:24:59:
不好意思，看错了

再举一例;

y=x^2在[0，0.5]，而y'和y‘’的交点在定义域之外

你的例子不满足f(0)=f(0.5)=0呀
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6楼2010-05-07 23:13:56
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xianjunlong

银虫 (正式写手)
bluesine:见楼下反例 2010-05-08 16:49:14
引用回帖:
Originally posted by bluesine at 2010-05-07 19:49:49:
你的证明问的有问题吧，条件说f可导，不特别说明的话是一阶可导，证明部分缺要求f至少也有k阶导数。。。。

条件是不是要求改为：无穷次可导

如果是无穷次可导，那怎么证明呢？
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7楼2010-05-07 23:14:47
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onesupeng

金虫 (职业作家)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
javeey(金币+2):在我看来，这个反例可以说明楼主的题目错误 2010-05-08 13:51:36
wuguocheng(数学EPI+1):Thks 2010-05-09 16:14:52
y=x^2-1/4在[-0.5，0.5]，而y'和y‘’的交点在定义域之外，这样应该可以了
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长期招收博士生，参见http://fsl-unsw.com
8楼2010-05-08 13:23:56
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★ ★
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javeey(金币+2):这个例子也很好 2010-05-08 13:51:55
wuguocheng:TKS 2010-05-09 16:14:32
wuguocheng(数学EPI+1): 2010-05-09 16:14:39
设 f=x-x^2(0 f(0)=f(1)=0,
f'(x)=1-2x, f''(x)=-2
在(0,1)中不存在c，使得 f'(c)=f''(c)
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9楼2010-05-08 13:32:16
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xianjunlong

银虫 (正式写手)
bluesine:求助完成清修改标题，后面添加【已解决】。 2010-05-09 09:39:52
谢谢各位！
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10楼2010-05-08 21:55:47
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