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xianjunlong

银虫 (正式写手)

[交流] 【求助】一道关于连续和导数的证明题【已解决】 已有4人参与

1. 已知函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明对于任何自然数k,至少存在一点c\in (a,b),使得f的导数在c的值=f的k阶导数在c的值

[ Last edited by javeey on 2010-5-12 at 17:27 ]
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jfili

金虫 (正式写手)

★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖交流
javeey(金币+2):这个例子也很好 2010-05-08 13:51:55
wuguocheng:TKS 2010-05-09 16:14:32
wuguocheng(数学EPI+1): 2010-05-09 16:14:39
设 f=x-x^2(0 f(0)=f(1)=0,
f'(x)=1-2x, f''(x)=-2
在(0,1)中不存在c,使得 f'(c)=f''(c)
9楼2010-05-08 13:32:16
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫

★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖交流
javeey(金币+1):同意你的说法 2010-05-08 13:49:47
你的证明问的有问题吧,条件说f可导,不特别说明的话是一阶可导,证明部分缺要求f至少也有k阶导数。。。。

条件是不是要求改为:无穷次可导
板凳要做十年冷文章不发一个字
2楼2010-05-07 19:49:49
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onesupeng

金虫 (职业作家)

★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖交流
bluesine(金币+1):呵呵,他这个是要求f ' (c) 而不是f(c),所以你这个例子不合适。 2010-05-07 21:03:44
举个反例说明。

f=sin[Pi*x]在[0,1]上连续无穷导,而其二次导为-Pi^2 sin[Pi*x],其图像和f在(0,1)中没有交点。说以这个题目本身就有点问题,除了楼上说得之外
长期招收博士生,参见http://fsl-unsw.com
3楼2010-05-07 20:36:21
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onesupeng

金虫 (职业作家)

★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖交流
bluesine(金币+1):这个例子还是不行f(0.5)=0的条件不满足。再想一下试试 2010-05-08 12:50:16
不好意思,看错了

再举一例;

y=x^2在[0,0.5],而y'和y‘’的交点在定义域之外
长期招收博士生,参见http://fsl-unsw.com
4楼2010-05-07 21:24:59
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