[交流] 函数方程的一道竞赛题

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼2015-06-07 17:33:10

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拉马之仆

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Edstrayer: 金币+3, 结果正确，此为方程的惟一解。 2015-06-11 07:19:17

显然，f(x)与g(x)互为线性反函数且相等，f(x)=g(x)=(1+a)/x。

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zhdpanjun

6楼2015-06-10 21:59:19

Edstrayer

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feixiaolin: 金币+2 2015-06-28 21:33:14

引用回帖:

8楼: Originally posted by hank612 at 2015-06-17 02:26:26
请问楼主, 拉马之仆找到了所有可能的解了么? 有没有证明或说明?

这个函数方程组有且仅有唯一一组解，就是：

$f(x)=g(x)=\frac{1+a}{x}$

证明过程比较复杂，大致思路是：构造两个收敛的迭代序列，用数学归纳法和夹逼定理证明这两个序列收敛到同一个极限，从而得到问题的惟一解。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

10楼2015-06-18 16:01:04

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Edstrayer

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这里 $\mathbb{R^{+}}=(0,+\infty)$ 是所有的正实数组成的集合。

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2015-06-07 17:40:23

乾坤智林

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好吧，太难了

[ 发自手机版 https://muchong.com/3g ]

靠自己的，没有不可能的，出现不可能的事的情况是小概率事件！相信自己！

3楼2015-06-08 06:31:39

阿Q~~

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Edstrayer: 金币+1, 谢谢祝福 2015-06-08 07:57:15

路过的看了一下，帮顶，祝福你好运！~~~~~~~~~~~~~~~~~~

自强不息，厚德载物；独立精神，自由思想。

4楼2015-06-08 07:27:00

Edstrayer

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引用回帖:

3楼: Originally posted by 乾坤智林 at 2015-06-08 06:31:39
好吧，太难了

用手机肯定答不出啦

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

5楼2015-06-08 07:31:02

zhdpanjun

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引用回帖:

6楼: Originally posted by 拉马之仆 at 2015-06-10 21:59:19
显然，f(x)与g(x)互为线性反函数且相等，f(x)=g(x)=(1+a)/x。

强，佩服。我能猜到是倒数函数，可是上面的系数算不出来。

7楼2015-06-11 18:21:11

hank612

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请问楼主, 拉马之仆找到了所有可能的解了么? 有没有证明或说明?

We_must_know. We_will_know.

8楼2015-06-17 02:26:26

laosam280

禁虫 (正式写手)

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Edstrayer: 金币+2 2015-06-18 16:01:30

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9楼2015-06-17 20:06:37