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supertre

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[求助] 高中数学作业题-三角函数

http:// $\"高中数学作业题-三角函数\"$
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1楼 2015-04-04 09:12:55

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hank612

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在假设(|a|-1)*(1-|2-a|)不等于零的情况下:

利用倍角公式, 得到 $(|a|-1)(1+\sin{x})(1-2\sin{x})=(|2-a|-1)\cos{x}(1+2\sin{x})$
再利用万能公式 t=tan(x/2), 得到
$\frac{(1+t)^2(1-t^2-4t)}{(1+t^2)^2}=\frac{|2-a|-1}{|a|-1}\cdot \frac{(1-t^2)(1+t^2+4t)}{(1+t^2)^2}$
马上知道 t+1=0永远是一个解. 扣除后得到
$\frac{(t+1)(t-2-\sqrt{3})(t-2+\sqrt{3})}{(1-t)(t+2-\sqrt{3})(t+2+\sqrt{3))}=\ frac{|2-a|-1}{|a|-1}$
由于分母三个零点都是一重的单根, 所以函数值在每个零点两側分别趋于正负无穷大, 且y=-1为水平趋势线. 那么, 对任意 $\ frac{|2-a|-1}{|a|-1}\neq -1$ , 一定在区间 $(-\infty, -2-\sqrt{3})\cup(1,\infty) , (-2-\sqrt{3},-2+\sqrt{3}), (-2+\sqrt{3},1)$ 这三段上各有一个根. 函数图像一看便知.
加上 t=-1这个固定解, 方程恰有四个根,与要求不符.
因此, 要使得方程只有三个根, 必须或者 $\ frac{|2-a|-1}{|a|-1} =0$ , 或者 $\ frac{|2-a|-1}{|a|-1} =-1$ . 于是有最终答案: 3个根当且仅当: 0<=a<=2 (但a不等于1), 或者 a=3.

我的答案和 wyydxs大同小异, 只是在端点 a=0和a=2都是可以的, 而 wyydxs排除在外.

rational function.png

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7楼2015-04-08 08:26:38

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supertre(feixiaolin代发): 金币+20 2015-04-28 17:59:18

引用回帖:

7楼: Originally posted by hank612 at 2015-04-08 08:26:38
在假设(|a|-1)*(1-|2-a|)不等于零的情况下:

利用倍角公式, 得到 (|a|-1)(1+\sin{x})(1-2\sin{x})=(|2-a|-1)\cos{x}(1+2\sin{x})
再利用万能公式 t=tan(x/2), 得到
\frac{(1+t)^2(1-t^2-4t)}{(1+t^2)^2}=\frac{ ...

在假设(|a|-1)*(1-|2-a|)不等于零的情况下:

利用倍角公式, 得到 $(|a|-1)(1+\sin{x})(1-2\sin{x})=(|2-a|-1)\cos{x}(1+2\sin{x})$
再利用万能公式 t=tan(x/2), 得到
$\frac{(1+t)^2(1-t^2-4t)}{(1+t^2)^2}=\frac{|2-a|-1}{|a|-1}\cdot \frac{(1-t^2)(1+t^2+4t)}{(1+t^2)^2}$
马上知道 t+1=0永远是一个解. 扣除后得到
$\frac{(t+1)(t-2-\sqrt{3})(t-2+\sqrt{3})}{(1-t)(t+2-\sqrt{3})(t+2+\sqrt{3))}=\ frac{|2-a|-1}{|a|-1}$
由于分母三个零点都是一重的单根, 所以函数值在每个零点两側分别趋于正负无穷大, 且y=-1为水平趋势线. 那么, 对任意 $\frac{|2-a|-1}{|a|-1}\neq -1$ , 一定在区间 $(-\infty, -2-\sqrt{3})\cup(1,\infty) , (-2-\sqrt{3},-2+\sqrt{3}), (-2+\sqrt{3},1)$ 这三段上各有一个根. 函数图像一看便知.
加上 t=-1这个固定解, 方程恰有四个根,与要求不符.
因此, 要使得方程只有三个根, 必须或者 $\frac{|2-a|-1}{|a|-1} =0$ , 或者 $\frac{|2-a|-1}{|a|-1} =-1$ . 于是有最终答案: 3个根当且仅当: 0<=a<=2 (但a不等于1), 或者 a=3,或者a=-1.

我的答案和 wyydxs大同小异, 略有不同.

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8楼2015-04-08 08:31:55

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1. 考虑端点、极值点的正负性质；
2. (a+b+c|>=3*pow(a*b*c, 1/3)公式？

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2楼2015-04-04 17:44:39

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3楼: Originally posted by supertre at 2015-04-04 18:44:39
不懂

能给出详细计算过程吗

...

感觉这两个题过难，不必深究。

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4楼2015-04-04 21:04:53

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supertre(feixiaolin代发): 金币+5 2015-04-28 17:59:07

分类讨论，首先a=1时，恒成立有无数解，不符合提议，当a大于0小于2且不等于1时，将原式化简之后发现原式与a无关，且只有一个解，所以符合条件，当a大于等于2时，化简之后发现当a=3时满足条件，当a小于0时不满足条件
所以a大于0小于2且a不等于1和a=3

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6楼2015-04-05 16:18:32

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2楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-04-04 17:44:39
1. 考虑端点、极值点的正负性质；
2. (a+b+c|>=3*pow(a*b*c, 1/3)公式？

不懂

能给出详细计算过程吗

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3楼2015-04-04 18:44:39

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大神们哪，帮帮忙

这是带高一家教的题目

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5楼2015-04-05 13:54:59

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2. 是否可以将sin^3(n*theta) 转化为 cos^3(n*theta)的形式？

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9楼2015-04-08 19:45:22

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由于 $max_{0,2\pi}|\sin^2(x)\sin(2x)|=(\frac{\sqrt{3}}{2})^3$ 在 $x=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$ 处取到. 况且这四个点e^{ia}在单位圆上对"乘以2倍"是封闭的,

所以f的最大值在这四个点处取到, 并且值为 $(\frac{\sqrt{3}}{2})^{3n}$

楼主手算当n=1, n=2两个例子, 就可以得出上述 .

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10楼2015-04-09 04:16:20

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