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[求助] 高中数学作业题-三角函数

http:// $\"高中数学作业题-三角函数\"$
高中数学作业题，求助。

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1楼 2015-04-04 09:12:55

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hank612

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在假设(|a|-1)*(1-|2-a|)不等于零的情况下:

利用倍角公式, 得到 $(|a|-1)(1+\sin{x})(1-2\sin{x})=(|2-a|-1)\cos{x}(1+2\sin{x})$
再利用万能公式 t=tan(x/2), 得到
$\frac{(1+t)^2(1-t^2-4t)}{(1+t^2)^2}=\frac{|2-a|-1}{|a|-1}\cdot \frac{(1-t^2)(1+t^2+4t)}{(1+t^2)^2}$
马上知道 t+1=0永远是一个解. 扣除后得到
$\frac{(t+1)(t-2-\sqrt{3})(t-2+\sqrt{3})}{(1-t)(t+2-\sqrt{3})(t+2+\sqrt{3))}=\ frac{|2-a|-1}{|a|-1}$
由于分母三个零点都是一重的单根, 所以函数值在每个零点两側分别趋于正负无穷大, 且y=-1为水平趋势线. 那么, 对任意 $\ frac{|2-a|-1}{|a|-1}\neq -1$ , 一定在区间 $(-\infty, -2-\sqrt{3})\cup(1,\infty) , (-2-\sqrt{3},-2+\sqrt{3}), (-2+\sqrt{3},1)$ 这三段上各有一个根. 函数图像一看便知.
加上 t=-1这个固定解, 方程恰有四个根,与要求不符.
因此, 要使得方程只有三个根, 必须或者 $\ frac{|2-a|-1}{|a|-1} =0$ , 或者 $\ frac{|2-a|-1}{|a|-1} =-1$ . 于是有最终答案: 3个根当且仅当: 0<=a<=2 (但a不等于1), 或者 a=3.

我的答案和 wyydxs大同小异, 只是在端点 a=0和a=2都是可以的, 而 wyydxs排除在外.

rational function.png

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We_must_know. We_will_know.

7楼2015-04-08 08:26:38

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feixiaolin

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1. 考虑端点、极值点的正负性质；
2. (a+b+c|>=3*pow(a*b*c, 1/3)公式？

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2楼2015-04-04 17:44:39

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supertre

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2楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-04-04 17:44:39
1. 考虑端点、极值点的正负性质；
2. (a+b+c|>=3*pow(a*b*c, 1/3)公式？

不懂

能给出详细计算过程吗

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3楼2015-04-04 18:44:39

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feixiaolin

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3楼: Originally posted by supertre at 2015-04-04 18:44:39
不懂

能给出详细计算过程吗

...

感觉这两个题过难，不必深究。

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4楼2015-04-04 21:04:53

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