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supertre

新虫 (正式写手)

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[求助] 高中数学作业题-三角函数

http:// $\"高中数学作业题-三角函数\"$
高中数学作业题，求助。

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1楼 2015-04-04 09:12:55

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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supertre(feixiaolin代发): 金币+20 2015-04-28 17:59:18

引用回帖:

7楼: Originally posted by hank612 at 2015-04-08 08:26:38
在假设(|a|-1)*(1-|2-a|)不等于零的情况下:

利用倍角公式, 得到 (|a|-1)(1+\sin{x})(1-2\sin{x})=(|2-a|-1)\cos{x}(1+2\sin{x})
再利用万能公式 t=tan(x/2), 得到
\frac{(1+t)^2(1-t^2-4t)}{(1+t^2)^2}=\frac{ ...

在假设(|a|-1)*(1-|2-a|)不等于零的情况下:

利用倍角公式, 得到 $(|a|-1)(1+\sin{x})(1-2\sin{x})=(|2-a|-1)\cos{x}(1+2\sin{x})$
再利用万能公式 t=tan(x/2), 得到
$\frac{(1+t)^2(1-t^2-4t)}{(1+t^2)^2}=\frac{|2-a|-1}{|a|-1}\cdot \frac{(1-t^2)(1+t^2+4t)}{(1+t^2)^2}$
马上知道 t+1=0永远是一个解. 扣除后得到
$\frac{(t+1)(t-2-\sqrt{3})(t-2+\sqrt{3})}{(1-t)(t+2-\sqrt{3})(t+2+\sqrt{3))}=\ frac{|2-a|-1}{|a|-1}$
由于分母三个零点都是一重的单根, 所以函数值在每个零点两側分别趋于正负无穷大, 且y=-1为水平趋势线. 那么, 对任意 $\frac{|2-a|-1}{|a|-1}\neq -1$ , 一定在区间 $(-\infty, -2-\sqrt{3})\cup(1,\infty) , (-2-\sqrt{3},-2+\sqrt{3}), (-2+\sqrt{3},1)$ 这三段上各有一个根. 函数图像一看便知.
加上 t=-1这个固定解, 方程恰有四个根,与要求不符.
因此, 要使得方程只有三个根, 必须或者 $\frac{|2-a|-1}{|a|-1} =0$ , 或者 $\frac{|2-a|-1}{|a|-1} =-1$ . 于是有最终答案: 3个根当且仅当: 0<=a<=2 (但a不等于1), 或者 a=3,或者a=-1.

我的答案和 wyydxs大同小异, 略有不同.