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心语10086

新虫 (初入文坛)

[交流] 实变函数里的一道计算题 已有5人参与

一道实变函数的问题，运用控制收敛定理计算一道题，会者请展示详细过程
（删了）

[ Last edited by 心语10086 on 2013-6-16 at 15:43 ]
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1楼 2013-06-08 12:23:47
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pippi6

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首先，取 ，将原表达式写成

对于I2我们有

所以 只要 ， 比如   ，就有 。剩下 也是显然的，因为  ， 而被积函数有限。
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3楼2013-06-08 13:39:54
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weft

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10楼: Originally posted by 心语10086 at 2013-06-13 12:39:48
可以写一下吗？用您这里所说的第一种方法，放大法。谢谢您！...

看图片吧, 其实第二种方法更简单, 甚至是初等到极点.
实变函数里的一道计算题
1.png


实变函数里的一道计算题-1
2.png


实变函数里的一道计算题-2
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实变函数里的一道计算题-3
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pippi6
12楼2013-06-13 12:43:14
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weft

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很简单, 至少有两种办法可以找到控制函数, 一个办法是利用Young不等式将分子放大, 这个有一定的技巧性, 另一个办法则比较直接, 甚至可以说比较笨的办法, 就是固定x, 对被积函数求关于n的最大值, 将n视为连续变量就变成了求导数的临界点, 学过一元微积分的都会.
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8楼2013-06-13 05:52:04
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weft

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3楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-08 13:39:54
首先，取 d=\frac{1}{n^\alpha}，将原表达式写成
\int_0^1 f(x)dx= \int_0^d f(x)dx+\int_d^1 f(x)dx=I_1+I_2
对于I2我们有
I_2 = \int_{1/n^\alpha}^1 f(x) dx < \frac{n^{3/2}}{n^{2-2/\alpha}}=\frac{1}{n ...

你这个证明有两个地方值得商榷:

1, 并不明显, 因为函数如果仅仅是有限而不是有界的话, 当区间长度趋于0时, 积分不一定趋于零. "有限"和"有界"是完全不同的两个概念, 后者强于前者. 实际上, 此题中的函数恰恰不是有界的, 当时, 被积函数, 这是关键所在.

2, 在的估计式中, 最后分母中的的幂次是不是计算有误? 似乎应该是, 而不是, 如此一来, 为了保证, 就必须取. 但这样就导致落入前面的小区间中, 于是在第一问题中只是假设性的问题现在成了真正的问题了.
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9楼2013-06-13 06:32:06
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weft

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12楼: Originally posted by weft at 2013-06-13 12:43:14
看图片吧, 其实第二种方法更简单, 甚至是初等到极点.

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...

一点评注, 我个人感觉第一个方法技巧性太强了, 你几乎很难从解答中看到我是怎么想的. 其实, 我最开始想到的是拿这样最基本的Cauchy不等式来放缩, 但未能凑效, 原因就是分子分母中n和x的幂次的配合不一样, 于是想到了通过Young不等式来调整, 这下成功了. 但是注意到方法二中的控制函数可以说是最佳的, 所以我又进一步想如何在方法一中也能凑出最佳的控制函数来, 当然, 这对于解这道题本身来说完全没必要, 甚至可以说是纯属多余, 但我相信方法一应该也能做到, 换句话说, 我想把方法一推到极致, 通过观察系数, 想到了Young不等式的加强版, 通过调整一个常数达到了目的, 这下果然一步到位了. 你可以试一下取时候的推导, 这个已经够用了, 而且不像现在改进之后的方法显得那么的artificial.
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13楼2013-06-13 13:02:52
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pippi6

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12楼: Originally posted by weft at 2013-06-13 12:43:14
看图片吧, 其实第二种方法更简单, 甚至是初等到极点.

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...

谢谢你指出错误，你真是做了不少工作啊。真心佩服！
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15楼2013-06-14 06:49:34
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weft

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15楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-14 06:49:34
谢谢你指出错误，你真是做了不少工作啊。真心佩服！...

不敢当! 指出他人的错误是要冒风险的, 如果对方小肚鸡肠, 会招致记恨甚至明面上的攻击, 我也是有顾虑的. 但这是讨论学术问题不涉及其它, 如果发现了问题不指出来而导致更多的人被误导, 自己的学术良心又过不去. 思虑再三, 还是斗胆指出来了. 你开阔的心胸和豁达的态度值得欣赏!
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16楼2013-06-14 11:11:33
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pippi6

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笔误？好像应该是 n-> infinity
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2楼2013-06-08 13:21:33
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心语10086

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3楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-08 13:39:54
首先，取 d=\frac{1}{n^\alpha}，将原表达式写成
\int_0^1 f(x)dx= \int_0^d f(x)dx+\int_d^1 f(x)dx=I_1+I_2
对于I2我们有
I_2 = \int_{1/n^\alpha}^1 f(x) dx < \frac{n^{3/2}}{n^{2-2/\alpha}}=\frac{1}{n ...

用控制收敛定理，要找控制函数哦，你的控制函数是什么呢？
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4楼2013-06-09 23:10:00
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pippi6

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4楼: Originally posted by 心语10086 at 2013-06-09 23:10:00
用控制收敛定理，要找控制函数哦，你的控制函数是什么呢？...

不懂什么是控制函数
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5楼2013-06-10 03:20:58
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lijb9

银虫 (初入文坛)
这么难啊
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6楼2013-06-10 18:18:06
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心语10086

新虫 (初入文坛)
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5楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-10 03:20:58
不懂什么是控制函数...

还是谢谢您！
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7楼2013-06-12 21:57:31
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心语10086

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
8楼: Originally posted by weft at 2013-06-13 05:52:04
很简单, 至少有两种办法可以找到控制函数, 一个办法是利用Young不等式将分子放大, 这个有一定的技巧性, 另一个办法则比较直接, 甚至可以说比较笨的办法, 就是固定x, 对被积函数求关于n的最大值, 将n视为连续变量就变 ...

可以写一下吗？用您这里所说的第一种方法，放大法。谢谢您！
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10楼2013-06-13 12:39:48
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