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心语10086

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一道实变函数的问题，运用控制收敛定理计算一道题，会者请展示详细过程
（删了）

[ Last edited by 心语10086 on 2013-6-16 at 15:43 ]

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1楼 2013-06-08 12:23:47

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pippi6

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12楼: Originally posted by weft at 2013-06-13 12:43:14
看图片吧, 其实第二种方法更简单, 甚至是初等到极点.

1.png

2.png

3.png

4.png
...

谢谢你指出错误，你真是做了不少工作啊。真心佩服！

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15楼2013-06-14 06:49:34

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pippi6

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笔误？好像应该是 n-> infinity

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2楼2013-06-08 13:21:33

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pippi6

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首先，取 $d=\frac{1}{n^\alpha}$ ，将原表达式写成
$\int_0^1 f(x)dx= \int_0^d f(x)dx+\int_d^1 f(x)dx=I_1+I_2$
对于I2我们有
$I_2 = \int_{1/n^\alpha}^1 f(x) dx < \frac{n^{3/2}}{n^{2-2/\alpha}}=\frac{1}{n^{1/2-2/\alpha}}$
所以只要 $\alpha > 4$ ，比如 $\alpha = 5$ ，就有 $I_2 -> 0$ 。剩下 $I_1 -> 0$ 也是显然的，因为 $d=\frac{1}{n^\alpha} -> 0$ ，而被积函数有限。

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3楼2013-06-08 13:39:54

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心语10086

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3楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-08 13:39:54
首先，取 d=\frac{1}{n^\alpha}，将原表达式写成
\int_0^1 f(x)dx= \int_0^d f(x)dx+\int_d^1 f(x)dx=I_1+I_2
对于I2我们有
I_2 = \int_{1/n^\alpha}^1 f(x) dx < \frac{n^{3/2}}{n^{2-2/\alpha}}=\frac{1}{n ...

用控制收敛定理，要找控制函数哦，你的控制函数是什么呢？

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4楼2013-06-09 23:10:00

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