实变函数里的一道计算题 - 数学 - 考博考研 - 第2页小木虫论坛-学术科研互动平台

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心语10086

新虫 (初入文坛)

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9楼: Originally posted by weft at 2013-06-13 06:32:06
你这个证明有两个地方值得商榷:

1, {I_1 \to 0}并不明显, 因为函数如果仅仅是有限而不是有界的话, 当区间长度趋于0时, 积分不一定趋于零. "有限"和"有界"是完全不同的两个概念, 后者强于前 ...

谢谢您的纠正！

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11楼2013-06-13 12:42:11

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weft

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10楼: Originally posted by 心语10086 at 2013-06-13 12:39:48
可以写一下吗？用您这里所说的第一种方法，放大法。谢谢您！...

看图片吧, 其实第二种方法更简单, 甚至是初等到极点.

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pippi6

12楼2013-06-13 12:43:14

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weft

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12楼: Originally posted by weft at 2013-06-13 12:43:14
看图片吧, 其实第二种方法更简单, 甚至是初等到极点.

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...

一点评注, 我个人感觉第一个方法技巧性太强了, 你几乎很难从解答中看到我是怎么想的. 其实, 我最开始想到的是拿 ${2ab \leq a^2 + b^2 }$ 这样最基本的Cauchy不等式来放缩, 但未能凑效, 原因就是分子分母中n和x的幂次的配合不一样, 于是想到了通过Young不等式来调整, 这下成功了. 但是注意到方法二中的控制函数可以说是最佳的, 所以我又进一步想如何在方法一中也能凑出最佳的控制函数来, 当然, 这对于解这道题本身来说完全没必要, 甚至可以说是纯属多余, 但我相信方法一应该也能做到, 换句话说, 我想把方法一推到极致, 通过观察系数, 想到了Young不等式的加强版, 通过调整一个常数 ${\varepsilon}$ 达到了目的, 这下果然一步到位了. 你可以试一下取 ${\varepsilon=1}$ 时候的推导, 这个已经够用了, 而且不像现在改进之后的方法显得那么的artificial.