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心语10086

新虫 (初入文坛)

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[交流] 实变函数里的一道计算题已有5人参与

一道实变函数的问题，运用控制收敛定理计算一道题，会者请展示详细过程
（删了）

[ Last edited by 心语10086 on 2013-6-16 at 15:43 ]

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1楼 2013-06-08 12:23:47

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weft

木虫 (正式写手)

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引用回帖:

3楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-08 13:39:54
首先，取 d=\frac{1}{n^\alpha}，将原表达式写成
\int_0^1 f(x)dx= \int_0^d f(x)dx+\int_d^1 f(x)dx=I_1+I_2
对于I2我们有
I_2 = \int_{1/n^\alpha}^1 f(x) dx < \frac{n^{3/2}}{n^{2-2/\alpha}}=\frac{1}{n ...

你这个证明有两个地方值得商榷:

1, ${I_1 \to 0}$ 并不明显, 因为函数如果仅仅是有限而不是有界的话, 当区间长度趋于0时, 积分不一定趋于零. "有限"和"有界"是完全不同的两个概念, 后者强于前者. 实际上, 此题中的函数恰恰不是有界的, 当 ${x=\frac{1}{n} \in [0,1]}$ 时, 被积函数 ${\dfrac{ n^{\frac{3}{2}} x }{ 1+n^2x^2} \cos(nx) = \dfrac{ \sqrt{n} }{2} \cos 1 \to +\infty \quad (n \to +\infty)}$ , 这是关键所在.

2, 在 ${I_2}$ 的估计式中, 最后分母中的 ${n}$ 的幂次是不是计算有误? 似乎应该是 ${\frac{1}{2}-2\alpha}$ , 而不是 ${\frac{1}{2}-\frac{2}{\alpha}}$ , 如此一来, 为了保证 ${I_2 \to 0}$ , 就必须取 ${\alpha < \frac{1}{4}}$ . 但这样就导致 ${x=\frac{1}{n} }$ 落入前面的小区间中, 于是在第一问题中只是假设性的问题现在成了真正的问题了.

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9楼2013-06-13 06:32:06

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pippi6

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笔误？好像应该是 n-> infinity

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2楼2013-06-08 13:21:33

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pippi6

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首先，取 $d=\frac{1}{n^\alpha}$ ，将原表达式写成
$\int_0^1 f(x)dx= \int_0^d f(x)dx+\int_d^1 f(x)dx=I_1+I_2$
对于I2我们有
$I_2 = \int_{1/n^\alpha}^1 f(x) dx < \frac{n^{3/2}}{n^{2-2/\alpha}}=\frac{1}{n^{1/2-2/\alpha}}$
所以只要 $\alpha > 4$ ，比如 $\alpha = 5$ ，就有 $I_2 -> 0$ 。剩下 $I_1 -> 0$ 也是显然的，因为 $d=\frac{1}{n^\alpha} -> 0$ ，而被积函数有限。