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心语10086

新虫 (初入文坛)

[交流] 实变函数里的一道计算题 已有5人参与

一道实变函数的问题，运用控制收敛定理计算一道题，会者请展示详细过程
（删了）

[ Last edited by 心语10086 on 2013-6-16 at 15:43 ]
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1楼 2013-06-08 12:23:47
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weft

木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
3楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-08 13:39:54
首先，取 d=\frac{1}{n^\alpha}，将原表达式写成
\int_0^1 f(x)dx= \int_0^d f(x)dx+\int_d^1 f(x)dx=I_1+I_2
对于I2我们有
I_2 = \int_{1/n^\alpha}^1 f(x) dx < \frac{n^{3/2}}{n^{2-2/\alpha}}=\frac{1}{n ...

你这个证明有两个地方值得商榷:

1, 并不明显, 因为函数如果仅仅是有限而不是有界的话, 当区间长度趋于0时, 积分不一定趋于零. "有限"和"有界"是完全不同的两个概念, 后者强于前者. 实际上, 此题中的函数恰恰不是有界的, 当时, 被积函数, 这是关键所在.

2, 在的估计式中, 最后分母中的的幂次是不是计算有误? 似乎应该是, 而不是, 如此一来, 为了保证, 就必须取. 但这样就导致落入前面的小区间中, 于是在第一问题中只是假设性的问题现在成了真正的问题了.
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9楼2013-06-13 06:32:06
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
笔误？好像应该是 n-> infinity
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2楼2013-06-08 13:21:33
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
首先，取 ，将原表达式写成

对于I2我们有

所以 只要 ， 比如   ，就有 。剩下 也是显然的，因为  ， 而被积函数有限。
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3楼2013-06-08 13:39:54
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心语10086

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-08 13:39:54
首先，取 d=\frac{1}{n^\alpha}，将原表达式写成
\int_0^1 f(x)dx= \int_0^d f(x)dx+\int_d^1 f(x)dx=I_1+I_2
对于I2我们有
I_2 = \int_{1/n^\alpha}^1 f(x) dx < \frac{n^{3/2}}{n^{2-2/\alpha}}=\frac{1}{n ...

用控制收敛定理，要找控制函数哦，你的控制函数是什么呢？
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4楼2013-06-09 23:10:00
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