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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 实变函数里的一道计算题
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心语10086

新虫 (初入文坛)

[交流] 实变函数里的一道计算题 已有5人参与

一道实变函数的问题，运用控制收敛定理计算一道题，会者请展示详细过程
（删了）

[ Last edited by 心语10086 on 2013-6-16 at 15:43 ]
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1楼 2013-06-08 12:23:47
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weft

木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
12楼: Originally posted by weft at 2013-06-13 12:43:14
看图片吧, 其实第二种方法更简单, 甚至是初等到极点.

1.png

2.png

3.png

4.png
...

一点评注, 我个人感觉第一个方法技巧性太强了, 你几乎很难从解答中看到我是怎么想的. 其实, 我最开始想到的是拿这样最基本的Cauchy不等式来放缩, 但未能凑效, 原因就是分子分母中n和x的幂次的配合不一样, 于是想到了通过Young不等式来调整, 这下成功了. 但是注意到方法二中的控制函数可以说是最佳的, 所以我又进一步想如何在方法一中也能凑出最佳的控制函数来, 当然, 这对于解这道题本身来说完全没必要, 甚至可以说是纯属多余, 但我相信方法一应该也能做到, 换句话说, 我想把方法一推到极致, 通过观察系数, 想到了Young不等式的加强版, 通过调整一个常数达到了目的, 这下果然一步到位了. 你可以试一下取时候的推导, 这个已经够用了, 而且不像现在改进之后的方法显得那么的artificial.
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13楼2013-06-13 13:02:52
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
笔误？好像应该是 n-> infinity
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2楼2013-06-08 13:21:33
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
首先，取 ，将原表达式写成

对于I2我们有

所以 只要 ， 比如   ，就有 。剩下 也是显然的，因为  ， 而被积函数有限。
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3楼2013-06-08 13:39:54
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心语10086

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-08 13:39:54
首先，取 d=\frac{1}{n^\alpha}，将原表达式写成
\int_0^1 f(x)dx= \int_0^d f(x)dx+\int_d^1 f(x)dx=I_1+I_2
对于I2我们有
I_2 = \int_{1/n^\alpha}^1 f(x) dx < \frac{n^{3/2}}{n^{2-2/\alpha}}=\frac{1}{n ...

用控制收敛定理，要找控制函数哦，你的控制函数是什么呢？
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4楼2013-06-09 23:10:00
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