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Edstrayer

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[交流] 函数方程的一道竞赛题

例A（Ex0607）设 $a>1$ ，试求所有的实值函数

$f,g:\mathbb{R^{+}}\to\mathbb{R^{+}}$

，
使得对所有的 $x\in\mathbb{R^{+}}$ ，都有：

$f(g(x))=\frac{x}{xf(x)-a}$

和

$g(f(x))=\frac{x}{xg(x)-a}$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2015-06-07 17:33:10

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Edstrayer

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★ ★
feixiaolin: 金币+2 2015-06-28 21:33:14

引用回帖:

8楼: Originally posted by hank612 at 2015-06-17 02:26:26
请问楼主, 拉马之仆找到了所有可能的解了么? 有没有证明或说明?

这个函数方程组有且仅有唯一一组解，就是：

$f(x)=g(x)=\frac{1+a}{x}$

证明过程比较复杂，大致思路是：构造两个收敛的迭代序列，用数学归纳法和夹逼定理证明这两个序列收敛到同一个极限，从而得到问题的惟一解。

赞一下(1人)

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

10楼2015-06-18 16:01:04

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Edstrayer

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这里 $\mathbb{R^{+}}=(0,+\infty)$ 是所有的正实数组成的集合。

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2楼2015-06-07 17:40:23

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好吧，太难了

[ 发自手机版 https://muchong.com/3g ]

靠自己的，没有不可能的，出现不可能的事的情况是小概率事件！相信自己！

3楼2015-06-08 06:31:39

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阿Q~~

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★
Edstrayer: 金币+1, 谢谢祝福 2015-06-08 07:57:15

路过的看了一下，帮顶，祝福你好运！~~~~~~~~~~~~~~~~~~

自强不息，厚德载物；独立精神，自由思想。

4楼2015-06-08 07:27:00

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