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ldlckp

银虫 (正式写手)

[求助] 求助二阶偏微分方程求解 已有2人参与

万能的虫虫们,求助这道题咋求解,本人非数学专业,望能解释的稍微详细一些,谢谢!

求助二阶偏微分方程求解
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


【答案】应助回帖

若使用分离变量法求解:
先令T(x,t)=F(x,t)-1/3*x^3+1/3*L^2*x
代入原方程得到:
PF(x,t)/Pt=P^2F(x,t)/Px^2
F(0,t)=0 ,F(L,t)=0;
F(x,0)=1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x
令F(x,t)=X(x)*T(t) ,代入方程中得到:
X(x)*dT(t)/dt=T(t)*d^2X(x)/dx^2
整理后:1/T(t)*dT(t)/dt=1/X(x)*d^2X(x)/dx^2
由于等式左边为t的函数,右边为x的函数,它们若想等必然只有一种情况,就是都为一常数C。即:
1/T(t)*dT(t)/dt=1/X(x)*d^2X(x)/dx^2≡C
由:1/T(t)*dT(t)/dt=C  得到:
dT(t)/dt-C*T(t)=0
T(t)=D*e^(C*t)
由于t≥0,并且当t-->∞时定解问题应该有界,即e^(C*t)<∞,因此C<0,故而可记为C=-α^2,此处α为正实数。
因此T(t)=D*e^(-α^2*t)
因此,对于X(x),有:
d^2X(x)/dx^2+α^2*X(x)=0
X(x)=A*Cos(α*x)+B*Sin(α*x)
由边界条件,再加上T(t)≠0得到: X(0)=0 , X(L)=0
由此得到A=0,B*Sin(α*L)=0
由于B不能为零,否则只有零解,不符合实际了,故而只能有Sin(α*L)=0
即α*L=k*π ,k=0,±1,±2,±3,±4,......。
即 α=k*π/L
因此:Fk(x,t)=Xk(x)*Tk(t)=Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin[k*π/L*x]
故:F(x,t)=SUM{Fk(x,t),k=-∞~∞}
           =SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=-∞~∞}
   =SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=-∞~0} +
      +SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞}
    =SUM{Jk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞}
由F(x,0)=1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x得到:
1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x=SUM{Jk*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞}
这是一个傅立叶正弦级数展开的问题,由此由傅立叶正弦级数系数公式可求得Jk,从而得到F(x,t)的表达式,再代入T(x,t)=F(x,t)-1/3*x^3+1/3*L^2*x
而得到定解问题的最终解答。


βγ
10楼2015-03-30 11:21:43
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P.F.Yin

木虫 (著名写手)

用分离变量方法试试呀

[ 发自小木虫客户端 ]
我想所以我能!
2楼2015-03-30 05:48:56
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
目前本人觉得可用分离变量法和拉氏变换法求解。不过用分离变量法求解前须先用一个代换F=U-x^3/3,如此就可将非齐次方程变为其次方程,方便求解。而拉氏变换法最后涉及到复杂式子的反变换问题,若查不到直接可用的公式,就要按照基本定义做复变函数的积分了。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
3楼2015-03-30 06:50:16
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ldlckp

银虫 (正式写手)

引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2015-03-30 06:50:16
目前本人觉得可用分离变量法和拉氏变换法求解。不过用分离变量法求解前须先用一个代换F=U-x^3/3,如此就可将非齐次方程变为其次方程,方便求解。而拉氏变换法最后涉及到复杂式子的反变换问题,若查不到直接可用的公 ...

谢谢!利用你所说的代换后,能换到两边分别对t和对x的齐次偏微分方程,接下来应该怎么做?是要进行拉氏变换吗?分离变量不是很懂,数学好几年没学了,刚刚接触拉氏变换,基本属于只了解一丁点皮毛,能麻烦你再解释一下吗?十分感激!
4楼2015-03-30 09:11:23
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