应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 求助二阶偏微分方程求解
51/1返回列表
查看: 1893  |  回复: 13
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看
当前只显示满足指定条件的回帖，点击这里查看本话题的所有回帖

ldlckp

银虫 (正式写手)

[求助] 求助二阶偏微分方程求解 已有2人参与

万能的虫虫们，求助这道题咋求解，本人非数学专业，望能解释的稍微详细一些，谢谢！

求助二阶偏微分方程求解
IMG_1222.JPG
回复此楼

» 猜你喜欢

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
1楼 2015-03-30 04:02:27
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

若使用分离变量法求解：
先令T(x,t)=F(x,t)-1/3*x^3+1/3*L^2*x
代入原方程得到：
PF(x,t)/Pt=P^2F(x,t)/Px^2
F(0,t)=0 ,F(L,t)=0;
F(x,0)=1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x
令F(x,t)=X(x)*T(t) ,代入方程中得到：
X(x)*dT(t)/dt=T(t)*d^2X(x)/dx^2
整理后：1/T(t)*dT(t)/dt=1/X(x)*d^2X(x)/dx^2
由于等式左边为t的函数，右边为x的函数，它们若想等必然只有一种情况，就是都为一常数C。即：
1/T(t)*dT(t)/dt=1/X(x)*d^2X(x)/dx^2≡C
由：1/T(t)*dT(t)/dt=C  得到：
dT(t)/dt-C*T(t)=0
T(t)=D*e^(C*t)
由于t≥0，并且当t-->∞时定解问题应该有界，即e^(C*t)<∞,因此C<0,故而可记为C=-α^2,此处α为正实数。
因此T(t)=D*e^(-α^2*t)
因此，对于X(x),有：
d^2X(x)/dx^2+α^2*X(x)=0
X(x)=A*Cos(α*x)+B*Sin(α*x)
由边界条件，再加上T(t)≠0得到: X(0)=0 , X(L)=0
由此得到A=0,B*Sin(α*L)=0
由于B不能为零，否则只有零解，不符合实际了，故而只能有Sin(α*L)=0
即α*L=k*π ,k=0,±1,±2,±3,±4,......。
即 α=k*π/L
因此：Fk(x,t)=Xk(x)*Tk(t)=Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin[k*π/L*x]
故：F(x,t)=SUM{Fk(x,t),k=-∞~∞}
           =SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=-∞~∞}
   =SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=-∞~0} +
      +SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞}
    =SUM{Jk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞}
由F(x,0)=1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x得到：
1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x=SUM{Jk*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞}
这是一个傅立叶正弦级数展开的问题，由此由傅立叶正弦级数系数公式可求得Jk,从而得到F(x,t)的表达式，再代入T(x,t)=F(x,t)-1/3*x^3+1/3*L^2*x
而得到定解问题的最终解答。


βγ
赞一下(1人) 回复此楼
10楼2015-03-30 11:21:43
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
查看全部 14 个回答

P.F.Yin

木虫 (著名写手)
用分离变量方法试试呀

[ 发自小木虫客户端 ]
赞一下 回复此楼
我想所以我能！
2楼2015-03-30 05:48:56
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
目前本人觉得可用分离变量法和拉氏变换法求解。不过用分离变量法求解前须先用一个代换F=U-x^3/3，如此就可将非齐次方程变为其次方程，方便求解。而拉氏变换法最后涉及到复杂式子的反变换问题，若查不到直接可用的公式，就要按照基本定义做复变函数的积分了。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
赞一下 回复此楼
3楼2015-03-30 06:50:16
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

ldlckp

银虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2015-03-30 06:50:16
目前本人觉得可用分离变量法和拉氏变换法求解。不过用分离变量法求解前须先用一个代换F=U-x^3/3，如此就可将非齐次方程变为其次方程，方便求解。而拉氏变换法最后涉及到复杂式子的反变换问题，若查不到直接可用的公 ...

谢谢！利用你所说的代换后，能换到两边分别对t和对x的齐次偏微分方程，接下来应该怎么做？是要进行拉氏变换吗？分离变量不是很懂，数学好几年没学了，刚刚接触拉氏变换，基本属于只了解一丁点皮毛，能麻烦你再解释一下吗？十分感激！
赞一下 回复此楼
4楼2015-03-30 09:11:23
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
查看全部 14 个回答
普通表情 龙 兔 虎 猫
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭