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求教一个二阶微分表达式的问题 已有3人参与
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最近刚学微积分，关于二阶微分我有这样一个问题： 对于二阶微分的表述形式：d^2y/dx^2 如果把它看作微商的话，那是不是能写成d(dy)/dx^2呢？ 如果用定义理解，那应该写成d(dy/dx)/dx。 那这两个式子应该是等价的，可是怎么从一个推到另一个呢？ 请讲解，不胜感激！ |
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pippi6
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2楼2014-11-15 08:57:07
3楼2014-11-15 09:20:20
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4楼2014-11-15 09:24:29
5楼2014-11-16 21:59:25
【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
| 是可以的，属于莱布尼兹的记法，d^2y/dx^2实际上（确切地表示）是d(dy)/(dx)^2，相当于函数的二阶微分对自变量微分的二次微商，因为第一次求一阶微商（即导数）是函数微分dy与自变量微分dx之商，而二阶微商又是原函数的微商（作为一个新函数！）对自变量的再次微商，也就是一阶微商的微分d(dy/dx)与自变量微分dx之商，但是要记住dx是不依赖于x的任意的数，关于x而微分时必须把它看成常数因子，于是d^2y=d(dy)=d(y'*dx)=d(y')*dx=(y''*dx)*dx=(y'')*(dx)*(dx)=(y'')*dx^2（y'即一阶导数，y''即二阶导数）。——关于这个，楼主可以参见俄罗斯菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》第一卷第三章第4节第119目高阶微分。 |
6楼2014-11-16 23:10:14
pippi6
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【答案】应助回帖
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和你商榷高阶微分的说法。虽说在简单的单变量、非复合函数情况是此说法是说得通的，但是对于多变量，复合函数此推导就会有问题。比如，f(x,y), df=f_xdx+f_ydy, d^2f=f_xxdxdx+2f_xf_ydy+f_yydy dy,但是， d^2f/dx^2 是什么？makes no sense。 另外，对于复合函数， 比如 x=psi(t)， 要求d^2x=0 就不合理，那样就会有 d^2 y=d(y_x dx )=y_xx dx ^2+ y_x d^2x , 因为 d^2x =phi_tt dt^2 /=0. 这样一来， 代数表达 d^2 y/dx^2 就有了问题。关键是一阶微分 d y 是个不变量，不依赖函数复合或多变量，但是 d^2 y 就不同了。总之，我觉得应尽量避开高阶微分的说法。事实上，也没有什么场合是非要这种说法的。 你提到了菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》关于高阶微分的讨论（56年版， 第三章第四节 112目）。确如你说有那样的论述。可是，如果你看下一目，就会看到高阶微分不变性的破坏。你所说的方法是有条件的---即x必须是原始自变量。而这要求很多场合不满足，尤其是对复合函数。 |
7楼2014-11-17 01:09:13
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你写的符???有点乱，虽然你说的关于高阶微分形???????性被破???，但是作者???时也说了（也就是120目）是由于把中间?????当??常??看待的，如果?????当?????赖新自?????的函数???看待的??，（作者在120目有演示）化简???是???以????微分形???????性的（尽管这一步看起???有点多余）。至于讨论高阶微分的??义，当然有用，在第一???第五章多元函数中已?????以??到，尤其当?????????到高维度空间的分??以???诸如在热力学和????力学中应用是会很有优势的，比如在对薛定谔方程的???解和应用上明显有帮助，费???曼也是有借助这些??想能够建立????电动力学。所以，????说对一件事物的???解和??试（比如此处??试???解高阶微分）是没有??义的，????的是对概念的整体把???和???解，关乎对微积分的??想方法的本质领悟很????。 |
8楼2014-11-18 23:26:09
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你写的符???有点乱，虽然你说的关于高阶微分形???????性被破???，但是作者???时也说了（也就是120目）是由于把中间?????当??常??看待的，如果?????当?????赖新自?????的函数???看待的??，（作者在120目有演示）化简???是???以????微分形???????性的（尽管这一步看起???有点多余）。至于讨论高阶微分的??义，当然有用，在第一???第五章多元函数中已?????以??到，尤其当?????????到高维度空间的分??以???诸如在热力学和????力学中应用是会很有优势的，比如在对薛定谔方程的???解和应用上明显有帮助，费???曼也是有借助这些??想能够建立????电动力学。所以，????说对一件事物的???解和??试（比如此处??试???解高阶微分）是没有??义的，????的是对概念的整体把???和???解，关乎对微积分的??想方法的本质领悟很????。 |
9楼2014-11-18 23:26:56
10楼2014-11-18 23:32:42