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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求教一个二阶微分表达式的问题
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肥嘟嘟的螃蟹

金虫 (小有名气)

[求助] 求教一个二阶微分表达式的问题已有3人参与

最近刚学微积分，关于二阶微分我有这样一个问题：
对于二阶微分的表述形式：d^2y/dx^2
如果把它看作微商的话，那是不是能写成d(dy)/dx^2呢？
如果用定义理解，那应该写成d(dy/dx)/dx。
那这两个式子应该是等价的，可是怎么从一个推到另一个呢？
请讲解，不胜感激！
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早起的虫子被鸟吃
1楼2014-11-15 08:27:06
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

引用回帖:
6楼: Originally posted by 苏沉e at 2014-11-16 23:10:14
是可以的，属于莱布尼兹的记法，d^2y/dx^2实际上（确切地表示）是d(dy)/(dx)^2，相当于函数的二阶微分对自变量微分的二次微商，因为第一次求一阶微商（即导数）是函数微分dy与自变量微分dx之商，而二阶微商又是原函 ...

和你商榷高阶微分的说法。虽说在简单的单变量、非复合函数情况是此说法是说得通的，但是对于多变量，复合函数此推导就会有问题。比如，f(x,y), df=f_xdx+f_ydy, d^2f=f_xxdxdx+2f_xf_ydy+f_yydy dy,但是， d^2f/dx^2 是什么？makes no sense。 另外，对于复合函数， 比如 x=psi(t)， 要求d^2x=0 就不合理，那样就会有 d^2 y=d(y_x dx )=y_xx dx ^2+ y_x d^2x , 因为 d^2x =phi_tt dt^2 /=0. 这样一来， 代数表达 d^2 y/dx^2 就有了问题。关键是一阶微分 d y 是个不变量，不依赖函数复合或多变量，但是  d^2 y 就不同了。总之，我觉得应尽量避开高阶微分的说法。事实上，也没有什么场合是非要这种说法的。

你提到了菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》关于高阶微分的讨论（56年版， 第三章第四节 112目）。确如你说有那样的论述。可是，如果你看下一目，就会看到高阶微分不变性的破坏。你所说的方法是有条件的---即x必须是原始自变量。而这要求很多场合不满足，尤其是对复合函数。
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7楼2014-11-17 01:09:13
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

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首先， d^2y/dx^2 是二阶导数。这只是一个符号。d^2y 本什身没什么意义。更不能理解为 d^2y除以dx^2 。
d(dy/dx)/dx 是有意义的，但这就是 d^2y/dx^2的定义。最好不要扯什么二阶微分。
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2楼2014-11-15 08:57:07
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肥嘟嘟的螃蟹

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by pippi6 at 2014-11-15 08:57:07
首先， d^2y/dx^2 是二阶导数。这只是一个符号。d^2y 本什身没什么意义。更不能理解为 d^2y除以dx^2 。
d(dy/dx)/dx 是有意义的，但这就是 d^2y/dx^2的定义。最好不要扯什么二阶微分。

那可以再点不清楚的问题吗？设x为复合函数y=f(x)与x=ψ(t)的中间变量，dy=f'(x)dx=f'(ψ(t)) (ψ'(t))^2 dt 这么写对吗？如果不对，表示成t的微分应该怎么写呢？
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早起的虫子被鸟吃
3楼2014-11-15 09:20:20
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
引用回帖:
3楼: Originally posted by 肥嘟嘟的螃蟹 at 2014-11-15 09:20:20
那可以再点不清楚的问题吗？设x为复合函数y=f(x)与x=ψ(t)的中间变量，dy=f'(x)dx=f'(ψ(t)) (ψ'(t))^2 dt 这么写对吗？如果不对，表示成t的微分应该怎么写呢？...

dy=f'(x)dx= f'(x) ψ' (t)dt
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4楼2014-11-15 09:24:29
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