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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求教一个二阶微分表达式的问题
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肥嘟嘟的螃蟹

金虫 (小有名气)

[求助] 求教一个二阶微分表达式的问题已有3人参与

最近刚学微积分，关于二阶微分我有这样一个问题：
对于二阶微分的表述形式：d^2y/dx^2
如果把它看作微商的话，那是不是能写成d(dy)/dx^2呢？
如果用定义理解，那应该写成d(dy/dx)/dx。
那这两个式子应该是等价的，可是怎么从一个推到另一个呢？
请讲解，不胜感激！
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早起的虫子被鸟吃
1楼2014-11-15 08:27:06
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苏沉e

木虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
是可以的，属于莱布尼兹的记法，d^2y/dx^2实际上（确切地表示）是d(dy)/(dx)^2，相当于函数的二阶微分对自变量微分的二次微商，因为第一次求一阶微商（即导数）是函数微分dy与自变量微分dx之商，而二阶微商又是原函数的微商（作为一个新函数！）对自变量的再次微商，也就是一阶微商的微分d(dy/dx)与自变量微分dx之商，但是要记住dx是不依赖于x的任意的数，关于x而微分时必须把它看成常数因子，于是d^2y=d(dy)=d(y'*dx)=d(y')*dx=(y''*dx)*dx=(y'')*(dx)*(dx)=(y'')*dx^2（y'即一阶导数，y''即二阶导数）。——关于这个，楼主可以参见俄罗斯菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》第一卷第三章第4节第119目高阶微分。
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6楼2014-11-16 23:10:14
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
首先， d^2y/dx^2 是二阶导数。这只是一个符号。d^2y 本什身没什么意义。更不能理解为 d^2y除以dx^2 。
d(dy/dx)/dx 是有意义的，但这就是 d^2y/dx^2的定义。最好不要扯什么二阶微分。
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2楼2014-11-15 08:57:07
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肥嘟嘟的螃蟹

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by pippi6 at 2014-11-15 08:57:07
首先， d^2y/dx^2 是二阶导数。这只是一个符号。d^2y 本什身没什么意义。更不能理解为 d^2y除以dx^2 。
d(dy/dx)/dx 是有意义的，但这就是 d^2y/dx^2的定义。最好不要扯什么二阶微分。

那可以再点不清楚的问题吗？设x为复合函数y=f(x)与x=ψ(t)的中间变量，dy=f'(x)dx=f'(ψ(t)) (ψ'(t))^2 dt 这么写对吗？如果不对，表示成t的微分应该怎么写呢？
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早起的虫子被鸟吃
3楼2014-11-15 09:20:20
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
引用回帖:
3楼: Originally posted by 肥嘟嘟的螃蟹 at 2014-11-15 09:20:20
那可以再点不清楚的问题吗？设x为复合函数y=f(x)与x=ψ(t)的中间变量，dy=f'(x)dx=f'(ψ(t)) (ψ'(t))^2 dt 这么写对吗？如果不对，表示成t的微分应该怎么写呢？...

dy=f'(x)dx= f'(x) ψ' (t)dt
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4楼2014-11-15 09:24:29
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