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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 求助二阶偏微分方程求解
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ldlckp

银虫 (正式写手)

[求助] 求助二阶偏微分方程求解 已有2人参与

万能的虫虫们，求助这道题咋求解，本人非数学专业，望能解释的稍微详细一些，谢谢！

求助二阶偏微分方程求解
IMG_1222.JPG
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1楼 2015-03-30 04:02:27
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
目前本人觉得可用分离变量法和拉氏变换法求解。不过用分离变量法求解前须先用一个代换F=U-x^3/3，如此就可将非齐次方程变为其次方程，方便求解。而拉氏变换法最后涉及到复杂式子的反变换问题，若查不到直接可用的公式，就要按照基本定义做复变函数的积分了。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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3楼2015-03-30 06:50:16
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
ldlckp: 金币+30, ★★★★★最佳答案, 十分感谢！ 2015-03-30 11:20:39
用拉氏变换法求解：设U为T关于时间t的拉氏变换，对原定解问题全部进行拉式变换后得到：
s*U-(x-x^2)=d^2U/dx^2+2*x/s
即：d^2U/dx^2-s*U=x^2-(1+2/s)*x                      (1)
故：U(x,s)=A*e^[sqrt(s)*x]+B*e^[-sqrt(s)*x]-1/s*x^2+(1/s+2/s^2)*x-2/s^2                                                         (2)
对原来的边界条件也进行变换后得到：
U(0,s)=U(L,s)=0                                                  (3)
(3)代入（2），得到：
A+B=2/s^2
A*e^[sqrt(s)*L]+B*e^[-sqrt(s)*L]=1/s*L^2-(1/s+2/s^2)*L+2/s^2
求解上面的二元一次方程组得到：A=；B=
代回(2)得到具体的U(x,s)，再对它求拉氏反变换即得T(x,t)。
这个拉氏反变换式子有些复杂，若找不到现成的公式，就只有根据原始定义进行复变函数的积分了。
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5楼2015-03-30 09:57:32
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

若使用分离变量法求解：
先令T(x,t)=F(x,t)-1/3*x^3+1/3*L^2*x
代入原方程得到：
PF(x,t)/Pt=P^2F(x,t)/Px^2
F(0,t)=0 ,F(L,t)=0;
F(x,0)=1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x
令F(x,t)=X(x)*T(t) ,代入方程中得到：
X(x)*dT(t)/dt=T(t)*d^2X(x)/dx^2
整理后：1/T(t)*dT(t)/dt=1/X(x)*d^2X(x)/dx^2
由于等式左边为t的函数，右边为x的函数，它们若想等必然只有一种情况，就是都为一常数C。即：
1/T(t)*dT(t)/dt=1/X(x)*d^2X(x)/dx^2≡C
由：1/T(t)*dT(t)/dt=C  得到：
dT(t)/dt-C*T(t)=0
T(t)=D*e^(C*t)
由于t≥0，并且当t-->∞时定解问题应该有界，即e^(C*t)<∞,因此C<0,故而可记为C=-α^2,此处α为正实数。
因此T(t)=D*e^(-α^2*t)
因此，对于X(x),有：
d^2X(x)/dx^2+α^2*X(x)=0
X(x)=A*Cos(α*x)+B*Sin(α*x)
由边界条件，再加上T(t)≠0得到: X(0)=0 , X(L)=0
由此得到A=0,B*Sin(α*L)=0
由于B不能为零，否则只有零解，不符合实际了，故而只能有Sin(α*L)=0
即α*L=k*π ,k=0,±1,±2,±3,±4,......。
即 α=k*π/L
因此：Fk(x,t)=Xk(x)*Tk(t)=Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin[k*π/L*x]
故：F(x,t)=SUM{Fk(x,t),k=-∞~∞}
           =SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=-∞~∞}
   =SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=-∞~0} +
      +SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞}
    =SUM{Jk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞}
由F(x,0)=1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x得到：
1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x=SUM{Jk*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞}
这是一个傅立叶正弦级数展开的问题，由此由傅立叶正弦级数系数公式可求得Jk,从而得到F(x,t)的表达式，再代入T(x,t)=F(x,t)-1/3*x^3+1/3*L^2*x
而得到定解问题的最终解答。


βγ
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10楼2015-03-30 11:21:43
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
11楼: Originally posted by ldlckp at 2015-03-30 11:46:34
太厉害了！我仔细琢磨了半天，勉强看懂了前面那部分，傅里叶正弦函数展开那里就不懂了，哎哎，高手啊，差距巨大啊。...

再翻一下书，有什么不懂的大家可以互相讨论。
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12楼2015-03-30 12:01:13
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
13楼: Originally posted by ldlckp at 2015-03-30 12:37:46
多谢！用拉氏换算求A和B，之后的式子有点复杂，查表查不到，我再核对一下，看能不能算出来，不懂再来请教你，以前都没接触过这些数学知识，工科要用到这些东西只能狂补了。...

得去学校图书馆甚至办理馆际互借手续在全国甚至世界范围里找一本拉氏变换与反变换大全的手册性质的书查一下相应的变换公式。我记得我在清华读书时图书馆就鼓励馆际互借业务，老师只出五分之一的钱，其他的都由图书馆出资。国内的也就每份文献人民币二三十元，外国的可能要每份文献人民币二百多元。
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14楼2015-03-30 13:13:03
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