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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 非线性二阶常微分方程组+第三类边界条件
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biezhuzi

金虫 (正式写手)

[求助] 非线性二阶常微分方程组+第三类边界条件

非线性二阶常微分方程组的形式如下：

y1''=f1(y1,y2,y3,...x)
y2''=f2(y1,y2,y3,...x)
y3''=f3(y1,y2,y3,...x)
......

边界条件：
yi(0)=ai; yi'(xn)=0

解析解就不要想了，需要降阶离散求解，但不知对这样的方程组用什么方法？
打靶法？行否？对这种方程组怎么用？
有限差分法？

请教各位虫友！指条明路！
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不以物喜，不以己悲
1楼 2013-06-18 17:18:40
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

nagami

木虫 (正式写手)
引用回帖:
10楼: Originally posted by biezhuzi at 2013-06-21 09:48:01
谢谢虫友的解答了，不能给你分了，送你一朵红花吧。

方法上可行，只是在离散赋初值时可能有要求，我再实践一下吧。...

我也想试试小手一抖，金币拿走，但又不能空手。后来发现，木有金币。
不过金币对我来说也没什么用。我发你剩余的内容，参考文献或许对你有用
非线性二阶常微分方程组+第三类边界条件
2.jpg


非线性二阶常微分方程组+第三类边界条件-1
3.jpg
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女靠衣装；男靠金装
11楼2013-06-21 10:28:09
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普通回帖

pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
先化为6变量的一阶方程组，然后用龙格库塔+shooting
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2楼2013-06-18 19:04:02
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biezhuzi

金虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-18 19:04:02
先化为6变量的一阶方程组，然后用龙格库塔+shooting

我的思路就是这样，若对于一个非线性二阶常微分方程可以打靶得到离散解。但这个是方程组，即使一个符合边界条件了，而其他方程不符合，改变其他初值时将改变已符合方程离散解，从而造成已收敛的重新迭代。

我尝试了这种方法，结果发散，找不到符合边界的初值，也就不能得到离散解。

我想，打靶法可以用，我怀疑对于这样的方程组具体怎么用可能没理解好。
对于一个变量，相当于二维平面，只要运用弦截法找到初值，或者说求出边界导数值随初始导数值变化曲线与x轴的交点即可，但对于这样的方程组就变成了多维（n>3）空间中向一个n维面趋近的问题，不像平面那样单变量变化，所以变得棘手，也就不能像一个方程那样求解了。

欢迎讨论！
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不以物喜，不以己悲
3楼2013-06-20 10:20:52
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
biezhuzi: 金币+10, ★★★很有帮助 2013-06-20 17:33:14
引用回帖:
3楼: Originally posted by biezhuzi at 2013-06-20 10:20:52
我的思路就是这样，若对于一个非线性二阶常微分方程可以打靶得到离散解。但这个是方程组，即使一个符合边界条件了，而其他方程不符合，改变其他初值时将改变已符合方程离散解，从而造成已收敛的重新迭代。

我尝 ...

shooting 无非就是解一个非线性方程组。有三个边界条件要shoot，就是一个3阶的非线性方程组而已。quasi-newton （一阶就是弦线）即可。很成熟的方法。要考虑的是，如果你的问题stiff，就不是很好办。总之，要提高龙格库塔的精度。
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4楼2013-06-20 10:33:29
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nagami

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
先解初值问题，得到f‘（b），与原条件比较，Newton method迭代改进初值，继续此操作。为了安全起见，方程各项光滑程度要高，保证解的存在。
祝好运，金币顺便拿走
非线性二阶常微分方程组+第三类边界条件-2
1.jpg
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女靠衣装；男靠金装
5楼2013-06-20 16:15:58
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biezhuzi

金虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by pippi6 at 2013-06-20 10:33:29
shooting 无非就是解一个非线性方程组。有三个边界条件要shoot，就是一个3阶的非线性方程组而已。quasi-newton （一阶就是弦线）即可。很成熟的方法。要考虑的是，如果你的问题stiff，就不是很好办。总之，要提高龙 ...

呵呵，还碰巧我的问题是一个stiff，所以按照这样的方法做了很多修改，还是不成功。

还是用matlab自带的bvp4c文件吧，

有什么建议请不吝告知！10分先给你奉上。
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不以物喜，不以己悲
6楼2013-06-20 17:32:07
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
引用回帖:
6楼: Originally posted by biezhuzi at 2013-06-20 17:32:07
呵呵，还碰巧我的问题是一个stiff，所以按照这样的方法做了很多修改，还是不成功。

还是用matlab自带的bvp4c文件吧，

有什么建议请不吝告知！10分先给你奉上。...

谢谢你的金币，感觉没做什么。 其实，即便是stiff的方程，也并非没有解决之道。有一个办法就是加长字长。stiff无非就是损失精度。如果，你有100位字长，对一般的stiff方程也就可以治愈了。真想解决问题，我们再聊。
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7楼2013-06-20 17:50:07
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biezhuzi

金虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by nagami at 2013-06-20 16:15:58
先解初值问题，得到f‘（b），与原条件比较，Newton method迭代改进初值，继续此操作。为了安全起见，方程各项光滑程度要高，保证解的存在。
祝好运，金币顺便拿走

1.jpg
...

谢谢！

此方法我明白，只是该问题属于方程组。若方法仍然适合，不知有什么细节需要注意？
另外，如何保证方程各项的光滑程度？
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不以物喜，不以己悲
8楼2013-06-20 19:01:13
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nagami

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by biezhuzi at 2013-06-20 19:01:13
谢谢！

此方法我明白，只是该问题属于方程组。若方法仍然适合，不知有什么细节需要注意？
另外，如何保证方程各项的光滑程度？...

我查到的资料是适当的光滑性有助于保证解的唯一。这个光滑性是fi（t，x（t），x‘（t））的光滑性，如果出现绝对值，你就得小心了。
作者默认了这是定义在R到Banach空间的函数x（t），所以有限维向量值函数自然适用。Newton method自然也适用。
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biezhuzi
女靠衣装；男靠金装
9楼2013-06-20 19:31:59
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biezhuzi

金虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
9楼: Originally posted by nagami at 2013-06-20 19:31:59
我查到的资料是适当的光滑性有助于保证解的唯一。这个光滑性是fi（t，x（t），x‘（t））的光滑性，如果出现绝对值，你就得小心了。
作者默认了这是定义在R到Banach空间的函数x（t），所以有限维向量值函数自然适 ...

谢谢虫友的解答了，不能给你分了，送你一朵红花吧。

方法上可行，只是在离散赋初值时可能有要求，我再实践一下吧。
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不以物喜，不以己悲
10楼2013-06-21 09:48:01
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