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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 应用数学与力学 » 请教前辈：该二元二阶微分方程组中的两个变量的表达式如何求呢？
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冷冰hh

木虫 (正式写手)

[求助] 请教前辈：该二元二阶微分方程组中的两个变量的表达式如何求呢？已有2人参与

请教数学及力学系前辈：该二元二阶微分方程组中的两个位移变量uf和um的表达式，如何求解呢？
根据这两个方程，是否可以写出其通解表达式呢
劳烦知道的前辈帮忙求解一下，谢谢！很感谢！

请教前辈：该二元二阶微分方程组中的两个变量的表达式如何求呢？
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1楼2015-01-24 00:51:36
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
冷冰hh: 金币+5, ★★★很有帮助 2015-01-24 13:37:00
首先，令，将方程组改写成：


如果B=0，则解二阶常微分方程：


这可以利用特征根法求解。
如果B不等于零，则有：


代入第二个方程得到：


这也可以利用特征根法求解，其归结为一元三次方程


的求解。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2015-01-24 05:27:10
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
冷冰hh: 金币+5, ★★★很有帮助, 很感谢你啦 2015-01-24 13:37:18
有两种方法可解此题。
1、 由（1）式解得用uf表达的um，再代入（2），获得一个形如
d^4uf/dx^4+(A+C)*d^2uf/dx^2+(A-B*D)*uf=0的线性方程，由特征根法先解得d^2uf/dx^2,然后再连积分两次获得uf，进而获得um。
2、用拉氏变换求解，获得含uf(0)、uf'(0)、um(0)、um'(0)参数的以uf和um的拉氏变换U、V为变量的二元一次方程。求得U 、V 后再求反变换得到uf、um。
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3楼2015-01-24 07:48:29
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普通回帖

终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
Lz可否告知系数A,B,C,D的具体数值，以及方程的定解条件？
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PreferenceforMathematics
4楼2015-01-24 18:23:31
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冷冰hh

木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-01-24 18:23:31
Lz可否告知系数A,B,C,D的具体数值，以及方程的定解条件？

A\B\C\D均为正的常系数，边界条件是吗
uf(0)=um(0)=0
uf‘(L)=uf'(-L)=0
这是附加条件
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5楼2015-01-25 13:46:25
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
引用回帖:
5楼: Originally posted by 冷冰hh at 2015-01-25 13:46:25
A\B\C\D均为正的常系数，边界条件是吗
uf(0)=um(0)=0
uf‘(L)=uf'(-L)=0
这是附加条件...

A,B,C,D没有具体数值，比如说A=2之类的？
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PreferenceforMathematics
6楼2015-01-25 15:05:06
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冷冰hh

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-01-25 15:05:06
A,B,C,D没有具体数值，比如说A=2之类的？...

这个，都是正的、常实数，因为ABCD是一些材料参数组成的，现在还没代入具体的材料
是想求出一种普遍的解
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7楼2015-01-25 16:30:48
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冷冰hh

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2015-01-24 07:48:29
有两种方法可解此题。
1、 由（1）式解得用uf表达的um，再代入（2），获得一个形如
d^4uf/dx^4+(A+C)*d^2uf/dx^2+(A-B*D)*uf=0的线性方程，由特征根法先解得d^2uf/dx^2,然后再连积分两次获得uf，进而获得um。
2、 ...

您好：按照您提供的第二种方法，我做到了这一步
能否帮忙看看，这样对吗？
还有，最后的多项式分解该如何分解呢？
不好意思呢，数学知识有点陌生，打扰啦
很感谢！
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  • 附件 1 : 拉氏变换解法.doc
    • 2015-01-25 17:10:07, 34 K
8楼2015-01-25 17:10:10
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
8楼: Originally posted by 冷冰hh at 2015-01-25 17:10:10
您好：按照您提供的第二种方法，我做到了这一步
能否帮忙看看，这样对吗？
还有，最后的多项式分解该如何分解呢？
不好意思呢，数学知识有点陌生，打扰啦
很感谢！...

令分母=0，得到四个根，如a1，a2，a3，a4；
然后，部分分式展开，写成如下形式
k1/(s-a1)+k2/(s-a2)+k3/(s-a3)+k4/(s-a4)
最后做反变换
=k1*exp(a1*t)+k2*exp(a2*t)+k3*exp(a3*t)+k4*exp(a4*t)
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9楼2015-01-25 17:33:39
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冷冰hh

木虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-01-25 17:33:39
令分母=0，得到四个根，如a1，a2，a3，a4；
然后，部分分式展开，写成如下形式
k1/(s-a1)+k2/(s-a2)+k3/(s-a3)+k4/(s-a4)
最后做反变换
=k1*exp(a1*t)+k2*exp(a2*t)+k3*exp(a3*t)+k4*exp(a4*t)...

好的，谢谢！
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10楼2015-01-25 19:01:29
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