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1楼2015-01-24 00:51:36

peterflyer

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冷冰hh: 金币+5, ★★★很有帮助, 很感谢你啦 2015-01-24 13:37:18

有两种方法可解此题。
1、由（1）式解得用uf表达的um，再代入（2），获得一个形如
d^4uf/dx^4+(A+C)*d^2uf/dx^2+(A-B*D)*uf=0的线性方程，由特征根法先解得d^2uf/dx^2,然后再连积分两次获得uf，进而获得um。
2、用拉氏变换求解，获得含uf(0)、uf'(0)、um(0)、um'(0)参数的以uf和um的拉氏变换U、V为变量的二元一次方程。求得U 、V 后再求反变换得到uf、um。

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3楼2015-01-24 07:48:29

peterflyer

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引用回帖:

8楼: Originally posted by 冷冰hh at 2015-01-25 17:10:10
您好：按照您提供的第二种方法，我做到了这一步
能否帮忙看看，这样对吗？
还有，最后的多项式分解该如何分解呢？
不好意思呢，数学知识有点陌生，打扰啦
很感谢！...

按版主的注意不错。令分母等于零，求得根的值，然后对分母进行因式分解，在此基础上进行有理真分式的分解即可。
比如对于uf(x)的拉式变换U（s）的分母（s^2+A)*(s^2+C)-D*B,令其为零:
（s^2+A)*(s^2+C)-D*B=0
展开后得到：
S^4+(A+C)*S^2+(A*C-B*D)=0
s^2=-(A+C)/2±sqrt[(A+C)^2-4*(A*C-B*D)]
s=±sqrt{-(A+C)/2±sqrt[(A+C)^2-4*(A*C-B*D)]}
这样获得s的四个根s1~s4 。故拉式变换可写成下面的形式，其中的系数可通过两边比较系数法获得：
Um(s)=α/(s-s1)+β/(s-s2)+γ/(s-s3)+δ/(s-s4)
若根为实数，则对应的解为形如e^(si*x)的指数形式(i=1~4）；
若根为复数，设为p± i*q(注：复根总是成对出现，即复根两个互相共轭），则对应解为:
e^(p*x)*Cos(q*x)+e^(p*x)*Sin(q*x) 。

11楼2015-01-26 08:35:27

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引用回帖:

由拉式变换的解法可看出，uf和um的特解的解的形式是相同的，不同的只是组成通解的每个特解前面的系数。

12楼2015-01-26 08:39:42

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还有，此问题的分母虽然为四次多项式，但仔细观察后就可发现，只出现了未知数的偶次幂项，因此可反复使用一元二次方程的求解方法进行求解。

13楼2015-01-26 08:43:45

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冷冰hh: 金币+5, ★★★很有帮助 2015-01-26 15:05:07

引用回帖:

11楼: Originally posted by peterflyer at 2015-01-26 08:35:27
按版主的注意不错。令分母等于零，求得根的值，然后对分母进行因式分解，在此基础上进行有理真分式的分解即可。
比如对于uf(x)的拉式变换U（s）的分母（s^2+A)*(s^2+C)-D*B,令其为零:
（s^2+A)*(s^2+C)-D*B=0
展 ...

在啰嗦一点，就算是最一般的三次和四次多项式也是有通用的求根公式的。这在高等代数里的代数方程理论中有详细介绍，就是百度一下也可得到。呵呵。

14楼2015-01-26 08:48:49