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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 求助二阶偏微分方程求解
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ldlckp

银虫 (正式写手)

[求助] 求助二阶偏微分方程求解 已有2人参与

万能的虫虫们，求助这道题咋求解，本人非数学专业，望能解释的稍微详细一些，谢谢！

求助二阶偏微分方程求解
IMG_1222.JPG
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1楼 2015-03-30 04:02:27
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

若使用分离变量法求解：
先令T(x,t)=F(x,t)-1/3*x^3+1/3*L^2*x
代入原方程得到：
PF(x,t)/Pt=P^2F(x,t)/Px^2
F(0,t)=0 ,F(L,t)=0;
F(x,0)=1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x
令F(x,t)=X(x)*T(t) ,代入方程中得到：
X(x)*dT(t)/dt=T(t)*d^2X(x)/dx^2
整理后：1/T(t)*dT(t)/dt=1/X(x)*d^2X(x)/dx^2
由于等式左边为t的函数，右边为x的函数，它们若想等必然只有一种情况，就是都为一常数C。即：
1/T(t)*dT(t)/dt=1/X(x)*d^2X(x)/dx^2≡C
由：1/T(t)*dT(t)/dt=C  得到：
dT(t)/dt-C*T(t)=0
T(t)=D*e^(C*t)
由于t≥0，并且当t-->∞时定解问题应该有界，即e^(C*t)<∞,因此C<0,故而可记为C=-α^2,此处α为正实数。
因此T(t)=D*e^(-α^2*t)
因此，对于X(x),有：
d^2X(x)/dx^2+α^2*X(x)=0
X(x)=A*Cos(α*x)+B*Sin(α*x)
由边界条件，再加上T(t)≠0得到: X(0)=0 , X(L)=0
由此得到A=0,B*Sin(α*L)=0
由于B不能为零，否则只有零解，不符合实际了，故而只能有Sin(α*L)=0
即α*L=k*π ,k=0,±1,±2,±3,±4,......。
即 α=k*π/L
因此：Fk(x,t)=Xk(x)*Tk(t)=Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin[k*π/L*x]
故：F(x,t)=SUM{Fk(x,t),k=-∞~∞}
           =SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=-∞~∞}
   =SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=-∞~0} +
      +SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞}
    =SUM{Jk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞}
由F(x,0)=1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x得到：
1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x=SUM{Jk*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞}
这是一个傅立叶正弦级数展开的问题，由此由傅立叶正弦级数系数公式可求得Jk,从而得到F(x,t)的表达式，再代入T(x,t)=F(x,t)-1/3*x^3+1/3*L^2*x
而得到定解问题的最终解答。


βγ
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10楼2015-03-30 11:21:43
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普通回帖

P.F.Yin

木虫 (著名写手)
用分离变量方法试试呀

[ 发自小木虫客户端 ]
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我想所以我能！
2楼2015-03-30 05:48:56
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
目前本人觉得可用分离变量法和拉氏变换法求解。不过用分离变量法求解前须先用一个代换F=U-x^3/3，如此就可将非齐次方程变为其次方程，方便求解。而拉氏变换法最后涉及到复杂式子的反变换问题，若查不到直接可用的公式，就要按照基本定义做复变函数的积分了。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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3楼2015-03-30 06:50:16
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ldlckp

银虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2015-03-30 06:50:16
目前本人觉得可用分离变量法和拉氏变换法求解。不过用分离变量法求解前须先用一个代换F=U-x^3/3，如此就可将非齐次方程变为其次方程，方便求解。而拉氏变换法最后涉及到复杂式子的反变换问题，若查不到直接可用的公 ...

谢谢！利用你所说的代换后，能换到两边分别对t和对x的齐次偏微分方程，接下来应该怎么做？是要进行拉氏变换吗？分离变量不是很懂，数学好几年没学了，刚刚接触拉氏变换，基本属于只了解一丁点皮毛，能麻烦你再解释一下吗？十分感激！
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4楼2015-03-30 09:11:23
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
ldlckp: 金币+30, ★★★★★最佳答案, 十分感谢！ 2015-03-30 11:20:39
用拉氏变换法求解：设U为T关于时间t的拉氏变换，对原定解问题全部进行拉式变换后得到：
s*U-(x-x^2)=d^2U/dx^2+2*x/s
即：d^2U/dx^2-s*U=x^2-(1+2/s)*x                      (1)
故：U(x,s)=A*e^[sqrt(s)*x]+B*e^[-sqrt(s)*x]-1/s*x^2+(1/s+2/s^2)*x-2/s^2                                                         (2)
对原来的边界条件也进行变换后得到：
U(0,s)=U(L,s)=0                                                  (3)
(3)代入（2），得到：
A+B=2/s^2
A*e^[sqrt(s)*L]+B*e^[-sqrt(s)*L]=1/s*L^2-(1/s+2/s^2)*L+2/s^2
求解上面的二元一次方程组得到：A=；B=
代回(2)得到具体的U(x,s)，再对它求拉氏反变换即得T(x,t)。
这个拉氏反变换式子有些复杂，若找不到现成的公式，就只有根据原始定义进行复变函数的积分了。
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5楼2015-03-30 09:57:32
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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
方程的边界和初值条件不能随便写；
比如，对于原方程加上初值条件（不加边值条件时）

是其解，但是无法满足边值条件
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文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。
6楼2015-03-30 10:17:12
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Mr__Right

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
6楼: Originally posted by Mr__Right at 2015-03-30 10:17:12
方程的边界和初值条件不能随便写；
比如，对于原方程加上初值条件（不加边值条件时）
T(x,t)=(x-1) (2 t-x)
是其解，但是无法满足边值条件

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文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。
7楼2015-03-30 10:18:43
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ldlckp

银虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by peterflyer at 2015-03-30 09:57:32
用拉氏变换法求解：设U为T关于时间t的拉氏变换，对原定解问题全部进行拉式变换后得到：
s*U-(x-x^2)=d^2U/dx^2+2*x/s
即：d^2U/dx^2-s*U=x^2-(1+2/s)*x                      (1)
故：U(x,s)=A*e^+B*e^-1/s*x^2+ ...

多谢！十分感谢你这么耐心的写下来具体过程，我用你所说的F=U-x^3/3变换，变成左右两边齐次的，然后使用拉氏变换得到了和你一样的表达式。这里还想请教下，你从（2）到（3）求特解的时候，用的是什么方法？是积分算子求特解吗？我刚用的积分算子，不知道你有什么更有效的方法没？
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8楼2015-03-30 11:17:23
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ldlckp

银虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by Mr__Right at 2015-03-30 10:17:12
方程的边界和初值条件不能随便写；
比如，对于原方程加上初值条件（不加边值条件时）
T(x,t)=(x-1) (2 t-x)
是其解，但是无法满足边值条件

不是很明白你的意思，题目给出的条件就是这样~~~
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9楼2015-03-30 11:18:20
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