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求助二阶偏微分方程求解 已有2人参与
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万能的虫虫们，求助这道题咋求解，本人非数学专业，望能解释的稍微详细一些，谢谢！ IMG_1222.JPG |
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peterflyer 
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【答案】应助回帖
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若使用分离变量法求解： 先令T(x,t)=F(x,t)-1/3*x^3+1/3*L^2*x 代入原方程得到： PF(x,t)/Pt=P^2F(x,t)/Px^2 F(0,t)=0 ,F(L,t)=0; F(x,0)=1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x 令F(x,t)=X(x)*T(t) ,代入方程中得到： X(x)*dT(t)/dt=T(t)*d^2X(x)/dx^2 整理后：1/T(t)*dT(t)/dt=1/X(x)*d^2X(x)/dx^2 由于等式左边为t的函数，右边为x的函数，它们若想等必然只有一种情况，就是都为一常数C。即： 1/T(t)*dT(t)/dt=1/X(x)*d^2X(x)/dx^2≡C 由：1/T(t)*dT(t)/dt=C 得到： dT(t)/dt-C*T(t)=0 T(t)=D*e^(C*t) 由于t≥0，并且当t-->∞时定解问题应该有界，即e^(C*t)<∞,因此C<0,故而可记为C=-α^2,此处α为正实数。 因此T(t)=D*e^(-α^2*t) 因此，对于X(x),有： d^2X(x)/dx^2+α^2*X(x)=0 X(x)=A*Cos(α*x)+B*Sin(α*x) 由边界条件，再加上T(t)≠0得到: X(0)=0 , X(L)=0 由此得到A=0,B*Sin(α*L)=0 由于B不能为零，否则只有零解，不符合实际了，故而只能有Sin(α*L)=0 即α*L=k*π ,k=0,±1,±2,±3,±4,......。 即 α=k*π/L 因此：Fk(x,t)=Xk(x)*Tk(t)=Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin[k*π/L*x] 故：F(x,t)=SUM{Fk(x,t),k=-∞~∞} =SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=-∞~∞} =SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=-∞~0} + +SUM{Dk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞} =SUM{Jk*e^[-(k*π/L)^2*t]*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞} 由F(x,0)=1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x得到： 1/3*x^3-x^2+(1-L^2/3)*x=SUM{Jk*Sin(k*π/L*x) , k=0~∞} 这是一个傅立叶正弦级数展开的问题，由此由傅立叶正弦级数系数公式可求得Jk,从而得到F(x,t)的表达式，再代入T(x,t)=F(x,t)-1/3*x^3+1/3*L^2*x 而得到定解问题的最终解答。 βγ |
10楼2015-03-30 11:21:43
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3楼2015-03-30 06:50:16
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【答案】应助回帖
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ldlckp: 金币+30, ★★★★★最佳答案, 十分感谢！ 2015-03-30 11:20:39
ldlckp: 金币+30, ★★★★★最佳答案, 十分感谢！ 2015-03-30 11:20:39
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用拉氏变换法求解：设U为T关于时间t的拉氏变换，对原定解问题全部进行拉式变换后得到： s*U-(x-x^2)=d^2U/dx^2+2*x/s 即：d^2U/dx^2-s*U=x^2-(1+2/s)*x (1) 故：U(x,s)=A*e^[sqrt(s)*x]+B*e^[-sqrt(s)*x]-1/s*x^2+(1/s+2/s^2)*x-2/s^2 (2) 对原来的边界条件也进行变换后得到： U(0,s)=U(L,s)=0 (3) (3)代入（2），得到： A+B=2/s^2 A*e^[sqrt(s)*L]+B*e^[-sqrt(s)*L]=1/s*L^2-(1/s+2/s^2)*L+2/s^2 求解上面的二元一次方程组得到：A=；B= 代回(2)得到具体的U(x,s)，再对它求拉氏反变换即得T(x,t)。 这个拉氏反变换式子有些复杂，若找不到现成的公式，就只有根据原始定义进行复变函数的积分了。 |
5楼2015-03-30 09:57:32
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