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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 关于微分方程的
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笨小孩aq

新虫 (小有名气)

[求助] 关于微分方程的已有4人参与

求下列方程的解析解，求指导，谢谢！

关于微分方程的
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博观而约取，厚积而薄发。
1楼2014-05-08 11:11:02
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
设对H关于时间t的拉氏变换为U(x,p)，则对方程两边求拉氏变换：
T*d^2U/dx^2=S*[p*U-0]
d^2U/dx^2-S*p/T*U=0
U=A(p)*e^[sqrt(S*p/T)*x]+B(p)*e^[-sqrt(S*p/T)*x]
再对边界条件取拉氏变换得到：
U(0,p)=100/p,U(L=2000,p)=50/p
代入上式，求出:
A(p)={50/p-100/p*e^[-sqrt(S*p/T)*L]}/{e^[sqrt(S*p/T)*x]-e^[-sqrt(S*p/T)*L}；
B(p)={100/p*e^[sqrt(S*p/T)*L]-50/p}/{e^[sqrt(S*p/T)*x]-e^[-sqrt(S*p/T)*L}。
代入原式即可得到U(x,p),再对其求拉氏逆变换，就可得到H(x,t)。
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笨小孩aq
9楼2014-05-08 13:12:50
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
15楼: Originally posted by 笨小孩aq at 2014-05-08 16:30:39
我不会拉普拉斯逆变换，还是用的变量分离法，谢谢...

其实分离变量法和拉氏变换法是想通的。我们查一般的拉氏变换表格就可查到e^[-a*sqrt(p)]/p的反变换为erfc{a/[2*sqrt(t)]};而上面的U的表达式中若将1/{e^[a*sqrt(p)]-e^[-a*sqrt(p)]}进行如下处理后再按泰勒展开式展开，就可变换为e^[-a*sqrt(p)]/p的形式：
1/{e^[a*sqrt(p)]-e^[-a*sqrt(p)]}=e^[-a*sqrt(p)]*1/{1-e^[-2*a*sqrt(p)]}=e^[-a*sqrt(p)]*{1+e^[-2*a*sqrt(p)]+e^[-4*a*sqrt(p)]+e^[-6*a*sqrt(p)]+......}
=e^[-a*sqrt(p)]+e^[-3*a*sqrt(p)]+e^[-5*a*sqrt(p)]+e^[-7*a*sqrt(p)]+......
将上式代入U(x,s)的表达式中就能将所有的表达式凑成e^[-m*sqrt(p)]/p的形式，从而获得解答H(x,t)。其中的m为由常数和x组成的函数表达式。
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17楼2014-05-08 21:54:26
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普通回帖

elastic

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
该方程为偏微分方程，用分离变量法解决：
设                    
把（1）式带入方程，可得：
   令          上式可化为：
原偏微分方程可化为：
只有当时，（2）、（3）式才有非零解，即：
      
把边界条件带入（4）式，可得：
              
式的通解为：
                 
所以：
               
把初始条件带入（6）式，可得：
                     
把（5）、（7）联立，即可解得。
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衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴
2楼2014-05-08 11:59:44
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elastic

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

不好意思，不知为什，WPS的公式粘贴不上
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衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴
3楼2014-05-08 12:02:19
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笨小孩aq

新虫 (小有名气)
那这个题中边界条件不为零，是不是就没有解啊？回帖可以发图片吗？WPS的公式粘贴不上
，可以截屏发图片试试，谢谢你！
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博观而约取，厚积而薄发。
4楼2014-05-08 12:26:51
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mathstudy

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
数理方程中最基本的分离变量就可以解决；最终解为e^at sin(bx)的形式
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5楼2014-05-08 12:29:01
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笨小孩aq

新虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by elastic at 2014-05-08 12:02:19
不好意思，不知为什，WPS的公式粘贴不上

那这个题中边界条件不为零，是不是就没有解啊？回帖可以发图片吗？WPS的公式粘贴不上
，可以截屏发图片试试，谢谢你！
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博观而约取，厚积而薄发。
6楼2014-05-08 12:41:19
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笨小孩aq

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by elastic at 2014-05-08 11:59:44
该方程为偏微分方程，用分离变量法解决：
设                    
把（1）式带入方程，可得：
   令          上式可化为：
原偏微分方程可化为：
只有当时，（2）、（3）式才有非零解，即：
      
把边界条 ...

由边界条件可以得到关于X（x）的初始条件是什么？
关于微分方程的-1
111111111111111.jpg
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博观而约取，厚积而薄发。
7楼2014-05-08 12:56:53
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笨小孩aq

新虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by mathstudy at 2014-05-08 12:29:01
数理方程中最基本的分离变量就可以解决；最终解为e^at sin(bx)的形式

谢谢，但是我不清楚怎么做，不知道这个题的边界条件怎么用
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博观而约取，厚积而薄发。
8楼2014-05-08 13:07:19
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mathstudy

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
笨小孩aq: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 谢谢帮助！就是这里不明白，感谢！ 2014-05-08 16:39:01
边界齐次化就可以  就是令H=Y+【H(2000,t)-H(0,t)】/【2000-0】*x+H(0,t); 这样Y满足 Y(0,t)=0,Y(2000,t)=0; 和主方程 初始条件为Y(x,0)=0-【50-100】/【2000-0】*x-100; 关于Y 的求解就是分离变量了；进而求得H
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笨小孩aq
10楼2014-05-08 15:22:21
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