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笨小孩aq新虫 (小有名气)
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求下列方程的解析解，求指导，谢谢！ `5QLZ3}6R44J]0CB{5__[IM.jpg |
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【答案】应助回帖
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设对H关于时间t的拉氏变换为U(x,p)，则对方程两边求拉氏变换： T*d^2U/dx^2=S*[p*U-0] d^2U/dx^2-S*p/T*U=0 U=A(p)*e^[sqrt(S*p/T)*x]+B(p)*e^[-sqrt(S*p/T)*x] 再对边界条件取拉氏变换得到： U(0,p)=100/p,U(L=2000,p)=50/p 代入上式，求出: A(p)={50/p-100/p*e^[-sqrt(S*p/T)*L]}/{e^[sqrt(S*p/T)*x]-e^[-sqrt(S*p/T)*L}； B(p)={100/p*e^[sqrt(S*p/T)*L]-50/p}/{e^[sqrt(S*p/T)*x]-e^[-sqrt(S*p/T)*L}。 代入原式即可得到U(x,p),再对其求拉氏逆变换，就可得到H(x,t)。 |
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笨小孩aq9楼2014-05-08 13:12:50
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其实分离变量法和拉氏变换法是想通的。我们查一般的拉氏变换表格就可查到e^[-a*sqrt(p)]/p的反变换为erfc{a/[2*sqrt(t)]};而上面的U的表达式中若将1/{e^[a*sqrt(p)]-e^[-a*sqrt(p)]}进行如下处理后再按泰勒展开式展开，就可变换为e^[-a*sqrt(p)]/p的形式： 1/{e^[a*sqrt(p)]-e^[-a*sqrt(p)]}=e^[-a*sqrt(p)]*1/{1-e^[-2*a*sqrt(p)]}=e^[-a*sqrt(p)]*{1+e^[-2*a*sqrt(p)]+e^[-4*a*sqrt(p)]+e^[-6*a*sqrt(p)]+......} =e^[-a*sqrt(p)]+e^[-3*a*sqrt(p)]+e^[-5*a*sqrt(p)]+e^[-7*a*sqrt(p)]+...... 将上式代入U(x,s)的表达式中就能将所有的表达式凑成e^[-m*sqrt(p)]/p的形式，从而获得解答H(x,t)。其中的m为由常数和x组成的函数表达式。 |
17楼2014-05-08 21:54:26