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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一个分段的二阶微分方程怎样求解？
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lchylinchy

新虫 (小有名气)

[求助] 一个分段的二阶微分方程怎样求解？ 已有1人参与

一个二次微分方程，其自由项是一个分段函数，请问应该怎样求解这样的微分方程。谢谢，方程如下：

一个分段的二阶微分方程怎样求解？
一个分段二阶微分方程.JPG
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1楼 2014-04-21 10:49:15
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
那就应该分段求解微分方程，就像解三个方程一样。然后再将每段的解合并写在一起，作为原方程的解。应该指出的是，题中的边界条件只够求解【0，L1】一段的，在【L1，L1+2*R】和【L1+2*R，L】上应该再追加边界条件。由于Shx、Chx的积分很容易，这里就不赘述了。
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2楼2014-04-21 14:14:03
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lchylinchy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2014-04-21 14:14:03
那就应该分段求解微分方程，就像解三个方程一样。然后再将每段的解合并写在一起，作为原方程的解。应该指出的是，题中的边界条件只够求解【0，L1】一段的，在【L1，L1+2*R】和【L1+2*R，L】上应该再追加边界条件。由 ...

但是我对应的问题的边界条件就只有这两个，没有多余的了，应该怎么办呢？
可以用在连续的分段点上是连续来解待定常数吗？
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3楼2014-04-21 15:17:30
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
3楼: Originally posted by lchylinchy at 2014-04-21 15:17:30
但是我对应的问题的边界条件就只有这两个，没有多余的了，应该怎么办呢？
可以用在连续的分段点上是连续来解待定常数吗？...

不行，貌似在交接点上曲线不光滑，无导数。
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4楼2014-04-21 15:49:08
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chadkid

新虫 (初入文坛)
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4楼: Originally posted by peterflyer at 2014-04-21 15:49:08
不行，貌似在交接点上曲线不光滑，无导数。...

是否可以分段求解三个区域的解（1,2,3），然后用初始值定区域1的定解，在推出2的初值，再推出3的初值。如果有往复运动，在用3推出2的初值，再用2推1。然后重复这样的操作？不行么？
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5楼2014-04-25 10:12:24
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
5楼: Originally posted by chadkid at 2014-04-25 10:12:24
是否可以分段求解三个区域的解（1,2,3），然后用初始值定区域1的定解，在推出2的初值，再推出3的初值。如果有往复运动，在用3推出2的初值，再用2推1。然后重复这样的操作？不行么？...

不行。在（1）（2）区交界处函数不一定连续，导数就更不一定连续了。因此不能用（1）区的值推算（2）的初值；同理也不能由（2）推算（3）的初值。必须按照三个方程分别求解的形式给出各段的边界条件。
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6楼2014-04-25 15:20:41
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chadkid

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by peterflyer at 2014-04-25 15:20:41
不行。在（1）（2）区交界处函数不一定连续，导数就更不一定连续了。因此不能用（1）区的值推算（2）的初值；同理也不能由（2）推算（3）的初值。必须按照三个方程分别求解的形式给出各段的边界条件。...

但是对于一个现实问题，系统都是随时间变化进入不同部分的。比如在进入（2）的时候其初速度（一阶导）和位移（原函数）就是（1）部分的末速度和末位移。
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7楼2014-04-27 10:07:48
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zqh628

新虫 (初入文坛)
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2楼: Originally posted by peterflyer at 2014-04-21 14:14:03
那就应该分段求解微分方程，就像解三个方程一样。然后再将每段的解合并写在一起，作为原方程的解。应该指出的是，题中的边界条件只够求解【0，L1】一段的，在【L1，L1+2*R】和【L1+2*R，L】上应该再追加边界条件。由 ...

怎么求[1,L1]段的？第二个边界条件是[1,L]呀？
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8楼2014-05-20 19:00:45
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
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8楼: Originally posted by zqh628 at 2014-05-20 19:00:45
怎么求段的？第二个边界条件是呀？...

先做为未知常数，等方程的解的形式求出后再用边界条件确定。
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9楼2014-05-20 20:13:13
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