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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一道极限题，请教高手，急！
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jiangxr314

铁虫 (正式写手)

[求助] 一道极限题，请教高手，急！ 已有3人参与

一道考研极限题，请高手指点！急！
一道极限题，请教高手，急！
2345截图20140103102829.jpg
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jihefenxi
1楼 2014-01-03 10:32:33
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
hank612的结论是正确的.
你的这个题目是下面这个一般性结论的特殊情况而已(函数取为f(x)=x^d, 区间取为[0,1]). 结论的本质上是:n等分区间的情况下, 达布和以1/n的速度逼近定积分. 这个可能对数值计算有点用.
一道极限题，请教高手，急！-1
limit.png
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6楼2014-01-04 10:21:31
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zywang1999

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
jiangxr314: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 非常感谢 2014-01-05 09:53:17
feixiaolin: 回帖置顶 2014-01-05 19:57:23
m趋于无穷大时，
sum(i^d/m^d | i=1,..., m)
={ [0/2+(1/m)^d /2] + [(1/m)^d /2 + (2/m)^d /2] + ... + [((m-1)/m)^d /2 + (m/m)^d /2]}/m +1/2
= m * Integrate(x^d, 0, 1) +1/2 + o(1/m)
= m /(d+1) +1/2 + o(1/m)
所以，原式 =lim [ m/(d+1) - m/(d+1) + 1/2] = 1/2
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我是这么深爱你啊，我的中国
9楼2014-01-05 09:33:34
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
由于\Sum_{i=1}^m  i^d 是有显式表达式的，这题变得很简单

分子是 1/2* m^d + o(m^d), 所以极限就是1/2.
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We_must_know. We_will_know.
3楼2014-01-03 12:07:11
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
试试 Stolz 定理，应该很简单
http://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem
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2楼2014-01-03 11:24:12
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by jiangxr314 at 2014-01-03 12:30:35
可是这里的d不一定是正整数。

我可以严格证明, 当 d>=2 正实数时, 极限为 1/2.
当 0<d<2时, 暂时没有头绪.
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We_must_know. We_will_know.
5楼2014-01-04 05:48:04
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zywang1999

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
m趋于无穷大时，
sum(i^d/m^d | i=1,..., m)
= m * sum[(i/m)^d * 1/m | i=1,..., m)
= m * Integrate(x^d, 0, 1)
= m /(d+1)
所以，原式 =lim [ m/(d+1) - m/(d+1)] = 0
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我是这么深爱你啊，我的中国
7楼2014-01-05 08:45:14
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★
feixiaolin: 金币+3 2014-01-05 20:03:43
引用回帖:
6楼: Originally posted by weft at 2014-01-04 10:21:31
hank612的结论是正确的.
你的这个题目是下面这个一般性结论的特殊情况而已(函数取为f(x)=x^d, 区间取为). 结论的本质上是:n等分区间的情况下, 达布和以1/n的速度逼近定积分. 这个可能对数值计算有点用.

limit.png
...

zywang1999 的第9楼的证明是不完整的，有致命缺陷的。原因如下：
(Sum 中位数求定积分) -  Integrate(x^d, 0, 1) -->0 as m--> infinity,
但是为什么 m*  [(Sum 中位数求定积分) -  Integrate(x^d, 0, 1)] --> 0?
TA 那里的o(1/m) 严格写出来应该是o(m).

Weft 的定理是最直接的证明， 2楼的Pchief 的定理也是可行的（我验证过），我用的是Simpson's Rule 算定积分， 只能证明x^d 是凸函数时的极限， 也就是当d>=2.
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We_must_know. We_will_know.
10楼2014-01-05 15:51:44
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普通回帖

jiangxr314

铁虫 (正式写手)
可是这里的d不一定是正整数。
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jihefenxi
4楼2014-01-03 12:30:35
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zywang1999

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

"m趋于无穷大时，
sum(i^d/m^d | i=1,..., m)
= m * sum[(i/m)^d * 1/m | i=1,..., m)
= m * Integrate(x^d, 0, 1)
= m /(d+1)
所以，原式 =lim [ m/(d+1) - m/(d+1)] = 0"
这种方法误差太大。计算结果可能就是1/2
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我是这么深爱你啊，我的中国
8楼2014-01-05 08:55:23
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