【答案】应助回帖

» 猜你喜欢

真诚求助：手里的省社科项目结项要求主持人一篇中文核心，有什么渠道能发核心吗已经有8人回复
寻求一种能扛住强氧化性腐蚀性的容器密封件已经有5人回复
论文投稿，期刊推荐已经有6人回复
请问哪里可以有青B申请的本子可以借鉴一下。已经有4人回复
孩子确诊有中度注意力缺陷已经有14人回复
请问下大家为什么这个铃木偶联几乎不反应呢已经有5人回复
请问有评职称，把科研教学业绩算分排序的高校吗已经有5人回复
2025冷门绝学什么时候出结果已经有3人回复
天津工业大学郑柳春团队欢迎化学化工、高分子化学或有机合成方向的博士生和硕士生加入已经有4人回复
康复大学泰山学者周祺惠团队招收博士研究生已经有6人回复

» 本主题相关商家推荐: (我也要在这里推广)

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:

jihefenxi

1楼2014-01-03 10:32:33

回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

weft

木虫 (正式写手)

应助: 125 (高中生)
金币: 2557.3
红花: 13
帖子: 301
在线: 147.4小时
虫号: 2161851
注册: 2012-12-02
专业: 文化学

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

hank612的结论是正确的.
你的这个题目是下面这个一般性结论的特殊情况而已(函数取为f(x)=x^d, 区间取为[0,1]). 结论的本质上是:n等分区间的情况下, 达布和以1/n的速度逼近定积分. 这个可能对数值计算有点用.

limit.png

赞一下(4人)

6楼2014-01-04 10:21:31

zywang1999

银虫 (小有名气)

应助: 24 (小学生)
金币: 352.1
红花: 2
帖子: 172
在线: 31.7小时
虫号: 2783972
注册: 2013-11-07
性别: GG
专业: 计算数学与科学工程计算

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
jiangxr314: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 非常感谢 2014-01-05 09:53:17
feixiaolin: 回帖置顶 2014-01-05 19:57:23

m趋于无穷大时，
sum(i^d/m^d | i=1,..., m)
={ [0/2+(1/m)^d /2] + [(1/m)^d /2 + (2/m)^d /2] + ... + [((m-1)/m)^d /2 + (m/m)^d /2]}/m +1/2
= m * Integrate(x^d, 0, 1) +1/2 + o(1/m)
= m /(d+1) +1/2 + o(1/m)
所以，原式 =lim [ m/(d+1) - m/(d+1) + 1/2] = 1/2

赞一下(3人)

我是这么深爱你啊，我的中国

9楼2014-01-05 09:33:34

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number
由于\Sum_{i=1}^m i^d 是有显式表达式的，这题变得很简单

分子是 1/2* m^d + o(m^d), 所以极限就是1/2.

赞一下(2人)

We_must_know. We_will_know.

3楼2014-01-03 12:07:11

Pchief

铁杆木虫 (正式写手)

数学EPI: 26
应助: 13 (小学生)
贵宾: 0.024
金币: 10628.4
红花: 36
帖子: 987
在线: 1988小时
虫号: 52235
注册: 2004-09-04
专业: 泛函分析

试试 Stolz 定理，应该很简单
http://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem

2楼2014-01-03 11:24:12

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

引用回帖:

4楼: Originally posted by jiangxr314 at 2014-01-03 12:30:35
可是这里的d不一定是正整数。

我可以严格证明, 当 d>=2 正实数时, 极限为 1/2.
当 0<d<2时, 暂时没有头绪.

We_must_know. We_will_know.

5楼2014-01-04 05:48:04

zywang1999

银虫 (小有名气)

应助: 24 (小学生)
金币: 352.1
红花: 2
帖子: 172
在线: 31.7小时
虫号: 2783972
注册: 2013-11-07
性别: GG
专业: 计算数学与科学工程计算

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

m趋于无穷大时，
sum(i^d/m^d | i=1,..., m)
= m * sum[(i/m)^d * 1/m | i=1,..., m)
= m * Integrate(x^d, 0, 1)
= m /(d+1)
所以，原式 =lim [ m/(d+1) - m/(d+1)] = 0

我是这么深爱你啊，我的中国

7楼2014-01-05 08:45:14

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

★ ★ ★
feixiaolin: 金币+3 2014-01-05 20:03:43

引用回帖:

6楼: Originally posted by weft at 2014-01-04 10:21:31
hank612的结论是正确的.
你的这个题目是下面这个一般性结论的特殊情况而已(函数取为f(x)=x^d, 区间取为). 结论的本质上是:n等分区间的情况下, 达布和以1/n的速度逼近定积分. 这个可能对数值计算有点用.

limit.png
...

zywang1999 的第9楼的证明是不完整的，有致命缺陷的。原因如下：
(Sum 中位数求定积分) - Integrate(x^d, 0, 1) -->0 as m--> infinity,
但是为什么 m* [(Sum 中位数求定积分) - Integrate(x^d, 0, 1)] --> 0?
TA 那里的o(1/m) 严格写出来应该是o(m).

Weft 的定理是最直接的证明， 2楼的Pchief 的定理也是可行的（我验证过），我用的是Simpson's Rule 算定积分，只能证明x^d 是凸函数时的极限，也就是当d>=2.

We_must_know. We_will_know.

10楼2014-01-05 15:51:44

普通回帖

jiangxr314

铁虫 (正式写手)

应助: 1 (幼儿园)
金币: 50.5
散金: 1100
红花: 1
帖子: 315
在线: 205.9小时
虫号: 1925181
注册: 2012-08-05
专业: 几何学

可是这里的d不一定是正整数。

赞一下

jihefenxi

4楼2014-01-03 12:30:35

zywang1999

银虫 (小有名气)

应助: 24 (小学生)
金币: 352.1
红花: 2
帖子: 172
在线: 31.7小时
虫号: 2783972
注册: 2013-11-07
性别: GG
专业: 计算数学与科学工程计算

【答案】应助回帖

"m趋于无穷大时，
sum(i^d/m^d | i=1,..., m)
= m * sum[(i/m)^d * 1/m | i=1,..., m)
= m * Integrate(x^d, 0, 1)
= m /(d+1)
所以，原式 =lim [ m/(d+1) - m/(d+1)] = 0"
这种方法误差太大。计算结果可能就是1/2

赞一下

我是这么深爱你啊，我的中国

8楼2014-01-05 08:55:23