| 查看: 2937 | 回复: 5 | ||
thematicsroy新虫 (小有名气)
|
[求助]
求助一道关于正定矩阵的证明题
|
|
1、已知H1是正定矩阵，H2是Hermite矩阵，且与H1同阶，求证： “H1+H2正定”等价于“(inv(H1))*H2的所有特征根大于-1” 2、矩阵Px,Py分别是C^n上映射到空间X，Y的正交投影，X,Y同维数，求证： ||Px-Py||=||(I-Px)Py||=||(I-Py)Px||, 这里||.||为二范数 纠结了好久，故来求助于各位，谢谢了~ |
回复此楼» 猜你喜欢
孩子确诊有中度注意力缺陷
已经有14人回复
-
三甲基碘化亚砜的氧化反应
已经有4人回复
-
请问下大家为什么这个铃木偶联几乎不反应呢
已经有5人回复
-
请问有评职称，把科研教学业绩算分排序的高校吗
已经有5人回复
-
2025冷门绝学什么时候出结果
已经有3人回复
-
天津工业大学郑柳春团队欢迎化学化工、高分子化学或有机合成方向的博士生和硕士生加入
已经有4人回复
-
康复大学泰山学者周祺惠团队招收博士研究生
已经有6人回复
-
AI论文写作工具：是科研加速器还是学术作弊器？
已经有3人回复
-
论文投稿，期刊推荐
已经有4人回复
-
请问2026国家基金面上项目会启动申2停1吗
已经有5人回复
» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
求助一个数学问题
已经有25人回复- 求助一个关于共轭转置矩阵的问题。。
已经有15人回复
- 求助非常简单的线性矩阵不等式matlab求解过程
已经有5人回复
- 求助：矩阵函数的泰勒展开
已经有9人回复
- 这道关于偏导数的证明题怎么做
已经有4人回复
- 关于矩阵求逆的一个引理证明
已经有3人回复
- 正定矩阵因子分解~~~
已经有5人回复
- 矩阵的本征矢量
已经有6人回复
- 求助矩阵的满秩分解问题，可否分解成行满秩阵乘以列满秩阵形式？
已经有6人回复
- 求助一个矩阵相乘的问题
已经有4人回复
- 正定矩阵乘积不一定正定对吧？有没有例子啊？
已经有3人回复
- 一道关于商空间的证明题
已经有13人回复
- 关于半正定矩阵的一个问题
已经有8人回复
- 求助关于chemkin求解出现奇异矩阵的问题
已经有3人回复
- 【求助】如何判断大型矩阵是否奇异？
已经有6人回复
- 求助一个矩阵求解问题
已经有11人回复
- 求证一热力学证明题
已经有5人回复
- 数学二的证明题怎么复习啊，现在好纠结
已经有7人回复
- 关于伴随矩阵正定的问题
已经有15人回复
- 设A是hermite矩阵，证明存在t大于0使得A+tE是正定的hermite矩阵
已经有5人回复
- 带平方根的（LLT）Cholesky算法分解对称正定矩阵 c语言实现
已经有10人回复
- 对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件？
已经有6人回复
- 【求助】线性代数关于特征值的证明题
已经有7人回复
- 【求助】求解一道有关泡利矩阵的量子力学习题
已经有12人回复
- 【求助】 矩阵的特征值问题
已经有6人回复
hank612
至尊木虫 (著名写手)
- 数学EPI: 14
- 应助: 225 (大学生)
- 金币: 14270.6
- 散金: 1055
- 红花: 95
- 帖子: 1526
- 在线: 1375.8小时
- 虫号: 2530333
- 注册: 2013-07-03
- 性别: GG
- 专业: 理论和计算化学
【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
|
当M对称(或Hermitian), N正定时, 二者是可以同时(对合意义下) 对角化的. 你可以考虑N的Cholesky decomposition, N=L L^H. 那么对Hermitian 矩阵 (L^(-1) M {L^(-1)}^H. 可以取到单位正交基 Y , 也就是 L^{-1} M {L^{-1}}^H Y = Y Lambda, 且 Y^H Y=I. 那么 X= {L^{-1}}^H Y 满足要求X^H M X= Lambda, X^H N X = I. 现在回到问题1. M+N 正定 当且仅当 对应标准二次型系数全正: x1^2 +...+xn^2. 也就是说 在X对合下 Lambda + I > 0. 但是 Lambda =(X^H N X )^(-1) X^H M X=X^{-1} N^{-1} M X就是N^{-1} M 的特征值. 问题2. 取子空间 X= (1, 0), Y=(0,1), 从而 PX= ( 1, 0; 0, 0), PY= (0, 0; 0, 1). 从映射角度就是 PX (a,b)=(a,0), PY(a,b)=(0,b). PX-PY = (1, 0; 0, -1) 但是 (I-PX) PY = (0, 0; 0, 1) * (0,0; 0, 1) = (0, 0; 0, 1). 范数好象不同. |
2楼2013-09-18 02:50:32
hank612
至尊木虫 (著名写手)
- 数学EPI: 14
- 应助: 225 (大学生)
- 金币: 14270.6
- 散金: 1055
- 红花: 95
- 帖子: 1526
- 在线: 1375.8小时
- 虫号: 2530333
- 注册: 2013-07-03
- 性别: GG
- 专业: 理论和计算化学
|
我说的范数不同指的是Frobenius二范数, http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_norm. 如果是矩阵二范数, Max |Ax|/|x|, 那么, 假设X 不等于Y, 考虑向量y属于Y并且正交于X, 可以看到那些范数都等于1, 因此相等. |
3楼2013-09-18 03:06:04
hank612
至尊木虫 (著名写手)
- 数学EPI: 14
- 应助: 225 (大学生)
- 金币: 14270.6
- 散金: 1055
- 红花: 95
- 帖子: 1526
- 在线: 1375.8小时
- 虫号: 2530333
- 注册: 2013-07-03
- 性别: GG
- 专业: 理论和计算化学
4楼2013-09-18 09:44:35
hank612
至尊木虫 (著名写手)
- 数学EPI: 14
- 应助: 225 (大学生)
- 金币: 14270.6
- 散金: 1055
- 红花: 95
- 帖子: 1526
- 在线: 1375.8小时
- 虫号: 2530333
- 注册: 2013-07-03
- 性别: GG
- 专业: 理论和计算化学
★ ★
feixiaolin: 金币+2, 奖励应助 2013-12-14 07:25:40
feixiaolin: 金币+2, 奖励应助 2013-12-14 07:25:40
|
1) 因为-(P-Q) = (I-P)Q - P(1-Q) 并且 Image (P) 和 Image(I-P) 正交, 所以对任何单位向量 u, ||-(P-Q)u|| >= || (I-P)Q u||, 即 ||P-Q||_2 >= || (I-P)Q||_2. 2) 考虑二维平面上向量 x=(cos(theta), sin(theta) ), y=(0, 1). P为在x上正交投影, Q为在y上正交投影, 即 P=( cos(theta), sin(theta))^T (cos(theta), sin(theta))= x^T x, Q=(0 0; 0 1). 直接计算得到 (P-Q) (cos(beta), sin(beta))^T = cos(theta) * (cos(theta-beta), sin(theta-beta))^T, (I-P)Q (cos(beta), sin(beta))^T = cos(theta)*sin(beta)*(-sin(theta), cos(theta))^T. 此时||P-Q||_2 = || (I-P)Q||_2. ( =cos(theta) ) 3) 设 P-Q的二范数在单位向量u取到, 即||P-Q||_2 = ||(P-Q)u||. 考虑u 在P上投影x=P(u), 在Q上投影y=Q(u), 可以看出, u在x 和y生成的二维平面上. 由2)的分析, (I-P)Q 在该平面上存在单位向量 v, 使得||(P-Q)u||= || (I-P)Q v||, 因此||P-Q||_2 <= || (I-P)Q||_2. 看来不论是 二 范数, 还是 二 维平面, 还是能有一些好性质的. 另外, P和Q 维数相同是必要的, 保证 P(u) 和 Q(u) 都不为零. 如果没有这个条件, 可以参考 P=Diag(0, 1,1), Q=Diag(0,1,0). 这时候 P-Q=Diag(0,0,1), (1-P)Q=0. |
5楼2013-09-19 01:51:51
 |
6楼2013-12-12 19:02:15