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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于半正定矩阵的一个问题
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shumolynu

金虫 (正式写手)

[求助] 关于半正定矩阵的一个问题

各位大侠：
    设Ａ是一个对称矩阵，且为半正定矩阵，那么这个矩阵的的每个元素都取绝对值之后得到的矩阵Ｂ是否还是半正定矩阵？如是，给出证明，如不是，能否举出反例呢？
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1楼 2013-06-15 22:41:59
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hanjingchina

金虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
我发了个“否[0,0;0,1] "
结果系统提示如下：
本贴为求助贴，我们鼓励回帖解决问题哦。应助不允许简单的跟帖，请遵守规定
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2楼2013-06-16 09:11:09
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shumolynu

金虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hanjingchina at 2013-06-16 09:11:09
我发了个“否 "
结果系统提示如下：
本贴为求助贴，我们鼓励回帖解决问题哦。应助不允许简单的跟帖，请遵守规定

[0,0;0,1] 是半正定的，但取绝对值之后仍为半正定的呀，并没有说明问题。
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3楼2013-06-16 17:40:49
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oofa

铁虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
shumolynu: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2013-06-20 23:04:22
否。尽管n = 1， 2， 3时都正确，但是n = 4时有反例如下：
A := Matrix( [ [1, 1, -1, 1], [1, 2, -3, -1], [-1, -3, 5, 3], [1, -1, 3, 5] ]);
可验证A是半正定的，（各阶顺序主子式 >= 0）
B := abs(A);
可验证det B = -4.
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4楼2013-06-17 19:36:35
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小碎花

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
否！  
A正半定当且仅当A的(2的N次方）-1个主子式都是非负的。    （N为A阶数）
只要A的主对角线上的元素都非负，且detB为正数时，B就不再是一个正半定阵！
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shumolynu
5楼2013-06-18 19:36:03
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小碎花

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 小碎花 at 2013-06-18 19:36:03
否！  
A正半定当且仅当A的(2的N次方）-1个主子式都是非负的。    （N为A阶数）
只要A的主对角线上的元素都非负，且detB为正数时，B就不再是一个正半定阵！

否！  
A正半定当且仅当A的(2的N次方）-1个主子式都是非负的。    （N为A阶数）
只要A的主对角线上的元素都非负，且detB为负数时，B就不再是一个正半定阵！
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6楼2013-06-18 19:37:25
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Halmos

铁虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

so far as I know, this question was addressed first by Marvin Marcus and William Watkins; see "Marvin Marcus and William Watkins, Partitioned hermitian matrices, Duke Math. J. Volume 38, Number 2 (1971), 237-249." http://projecteuclid.org/DPubS?s ... clid.dmj/1077379614

Just be cautious that the 3,3 entry of H should be 1, it is a typo.
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shumolynu
7楼2013-06-20 04:50:12
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shumolynu

金虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
5楼: Originally posted by 小碎花 at 2013-06-18 19:36:03
否！  
A正半定当且仅当A的(2的N次方）-1个主子式都是非负的。    （N为A阶数）
只要A的主对角线上的元素都非负，且detB为正数时，B就不再是一个正半定阵！

谢谢！
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8楼2013-06-20 23:04:50
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shumolynu

金虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
7楼: Originally posted by Halmos at 2013-06-20 04:50:12
so far as I know, this question was addressed first by Marvin Marcus and William Watkins; see "Marvin Marcus and William Watkins, Partitioned hermitian matrices, Duke Math. J. Volume 38, Number  ...

谢谢！
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9楼2013-06-20 23:05:18
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