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Hermite矩阵的特征值计算问题
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各位高人，首先感谢帮助，由于编辑数学公式不方便，所有我截图将我的问题放在这里，多谢指导！ |
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【答案】应助回帖
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inlaid: 金币+3, ★★★很有帮助 2012-09-18 09:26:32
小雨萌萌: 金币+3, 谢谢应助~ 2012-09-19 20:12:45
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楼主,首先要知道Hermite矩阵就是实对称矩阵的复数版本。我更愿意用:A^H=A来定义Hermite矩阵，这里A是任何一个n阶的复数矩阵，H表示共轭转置。你的这个问题有三个步骤，但是我不清楚你的意图是什么？你的问题（2）和（3）很容易回答，但是（1）我没有尝试怎么计算！！一定要用（1）来说明（2）和（3） 吗？ 我首先跟你解释一个结论：任何Hermite矩阵在复数域内一定有特征值而且特征值一定为实数。 假设A是一个Hermite矩阵，f(x)=|xI-A|表示矩阵A的特征多项式，这个多项式的根即为A的特值。由于你在复数域内考虑问题，而代数基本定理说“复数域内任何一个多项式均有根”（但有可能是重复的根），因此A在复数域内必有特征值。假设\lambda是A的一个特征值，X为矩阵A对应于特征值\lambda的特征向量，即AX=\lambda X，两端取共轭转置有X^H A^H=\lambda^H X^H, 于是可得 X^H A=\lambda^H X^H,等式两端右侧同时乘以X推出 X^H A X=\lambda^H X^H X，注意AX=\lambda X。从而\lambda X^H X=\lambda^H X^H X，因为X^H X表示特征向量X的模长的平方，一定是一个大于零的实数，立刻得到\lambda=\lambda^H，这表明特征值\lambda一定为实数。 我的问题没有回答完，我不要你的金币！你先看看我的证明，如果能看懂并确认没什么问题，我再回答你的问题（3）。 |
2楼2012-09-17 16:03:50
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非常感谢 数学高手daoshuo网友的回复。 由于昨晚加班所以没能及时回复帖子。 金币虽小，缘分乃大。感谢你的耐心证明！！！ 我的帖子是提了3个问题，这3个问题没有关联。 任何Hermite矩阵的特征值都是实数。 我最关心的是任何Hermite矩阵的特征值是不是都有解析解? 也就说能够计算出3个特征值的解析表达式。 为了验证，我昨天简单的学了一下符号运算软件Maple （这个工具非常强大，强烈推荐给各位理工科的网友们使用） 同时，也请daoshuo高手帮我指导一下，看我的运算是否正确？ 下面是Maple运算结果的截图， 从截图可以看出，任意的一个Hermite矩阵的3个特征值不一定有解析解啊？ (或者说解析解很复杂) （由于篇幅限制，我只能将部分截图在这里给出）  |
3楼2012-09-18 09:18:27
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