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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一个复矩阵不等式的证明
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yangaili

金虫 (小有名气)

[求助] 一个复矩阵不等式的证明

已知 M 是 n 阶实矩阵，M+M^T（^T 表示转置）正定，对于任意的 n 元复向量 y，证明：
    [(M+M^T)y, y]>[i (M-M^T)y, y],
其中 [. , .] 表示欧氏内积。
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1楼 2011-11-04 15:28:14
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

yangaili(金币+5): 我对右侧<=0的解释不是很清楚，进一步解释之后会送出剩余金币，非常感谢！ 2011-11-06 17:54:44
由M+M^T正定（可分解）和内积定义知道，左侧恒正；
由M-M^T反对称实矩阵和内积定义知道，右侧<=0;
故不等式成立！
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学好外语，不忘数学！
2楼2011-11-05 10:10:55
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yangaili

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-05 10:10:55:
由M+M^T正定（可分解）和内积定义知道，左侧恒正；
由M-M^T反对称实矩阵和内积定义知道，右侧<=0;
故不等式成立！

左侧恒正很明显；右侧 M-M^T 的确是反对称实矩阵，并且 i*(M-M^T) 是Hermite阵，但右侧 <=0 我利用内积定义看不出来，您能否说的详细点？非常感谢！！！
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3楼2011-11-06 17:50:41
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by yangaili at 2011-11-06 17:50:41:
左侧恒正很明显；右侧 M-M^T 的确是反对称实矩阵，并且 i*(M-M^T) 是Hermite阵，但右侧 <=0 我利用内积定义看不出来，您能否说的详细点？非常感谢！！！

启发下：
先求反对称矩阵的特征值试试？能否对角化分解？
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4楼2011-11-06 20:06:02
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by yangaili at 2011-11-06 17:50:41:
左侧恒正很明显；右侧 M-M^T 的确是反对称实矩阵，并且 i*(M-M^T) 是Hermite阵，但右侧 <=0 我利用内积定义看不出来，您能否说的详细点？非常感谢！！！

注意 i*(M-M^T)的酉对角化，特征值全为实数和迹为零 ！
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5楼2011-11-07 11:14:30
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yangaili

金虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-07 11:14:30:
注意 i*(M-M^T)的酉对角化，特征值全为实数和迹为零 ！

利用酉对角化能把右侧式子化得很简单，但并不能说明右侧<=0，因为特征值有正有负，y是任意的。尽管迹为零，也还是得不出要的结论。
事实上，右侧也有可能>0, 比如 取$M=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$, 则 $M-M^T=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$, 取$y=\begin{pmatrix}1+i\\1-i\end{pmatrix}$, 此时右侧=4.
十分感谢您的回答！！！
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6楼2011-11-08 09:23:36
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yangaili

金虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-07 11:14:30:
注意 i*(M-M^T)的酉对角化，特征值全为实数和迹为零 ！

利用酉对角化能把右侧式子化得很简单，但并不能说明右侧<=0，因为特征值有正有负，y是任意的。尽管迹为零，也还是得不出要的结论。
事实上，右侧也有可能>0, 比如 取 则 [latex]M-M^T=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},[latex] 取[latex]y=\begin{pmatrix}1+i\\1-i\end{pmatrix},[latex], 此时右侧=4.
十分感谢您的回答！！！
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7楼2011-11-08 09:33:02
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