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北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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yangaili

金虫 (小有名气)

[求助] 一个复矩阵不等式的证明

已知 M 是 n 阶实矩阵,M+M^T(^T 表示转置)正定,对于任意的 n 元复向量 y,证明:
    [(M+M^T)y, y]>[i (M-M^T)y, y],
其中 [. , .] 表示欧氏内积。
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by yangaili at 2011-11-06 17:50:41:
左侧恒正很明显;右侧 M-M^T 的确是反对称实矩阵,并且 i*(M-M^T) 是Hermite阵,但右侧 <=0 我利用内积定义看不出来,您能否说的详细点?非常感谢!!!

注意 i*(M-M^T)的酉对角化,特征值全为实数和迹为零 !
学好外语,不忘数学!
5楼2011-11-07 11:14:30
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

yangaili(金币+5): 我对右侧<=0的解释不是很清楚,进一步解释之后会送出剩余金币,非常感谢! 2011-11-06 17:54:44
由M+M^T正定(可分解)和内积定义知道,左侧恒正;
由M-M^T反对称实矩阵和内积定义知道,右侧<=0;
故不等式成立!
学好外语,不忘数学!
2楼2011-11-05 10:10:55
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yangaili

金虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-05 10:10:55:
由M+M^T正定(可分解)和内积定义知道,左侧恒正;
由M-M^T反对称实矩阵和内积定义知道,右侧<=0;
故不等式成立!

左侧恒正很明显;右侧 M-M^T 的确是反对称实矩阵,并且 i*(M-M^T) 是Hermite阵,但右侧 <=0 我利用内积定义看不出来,您能否说的详细点?非常感谢!!!
3楼2011-11-06 17:50:41
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Jackie2011

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by yangaili at 2011-11-06 17:50:41:
左侧恒正很明显;右侧 M-M^T 的确是反对称实矩阵,并且 i*(M-M^T) 是Hermite阵,但右侧 <=0 我利用内积定义看不出来,您能否说的详细点?非常感谢!!!

启发下:
先求反对称矩阵的特征值试试?能否对角化分解?
学好外语,不忘数学!
4楼2011-11-06 20:06:02
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