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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[交流] 一个复数不等式 已有3人参与

一个复数不等式：

一个复数不等式
复变函数复数的不等式001.gif

Let ,please proof :



[ Last edited by Edstrayer on 2014-4-29 at 19:35 ]
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2014-04-12 16:37:13
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
取z=x+iy
转变成  实函数 sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求极值？
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2楼2014-04-12 17:47:50
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dfsvdf

木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-12 17:47:50
取z=x+iy
转变成  实函数 sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求极值？

不对。e^z-1的值为：
一个复数不等式-1
1.png


编辑：上面的内容是错的，2楼的是对的
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3楼2014-04-12 18:06:13
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-12 17:47:50
取z=x+iy
转变成  实函数 sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求极值？

用求极值的方法不好解吧？
这个不等式可以改进为：
设0<\mid z\mid<1，试证：
(3-e)\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<(e-1)\mid z\mid.
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2014-04-12 18:08:42
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dfsvdf

木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
我觉得应该对于|e^z-1|^2，先变换，再展开。
把(siny)^2换为1-(cosy)^2，把(cosy)^2换为(cos2y+1)/2,
再把e^(2x),e^x,cosy按照麦克劳林级数展开。
接下来的处理就看你了
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5楼2014-04-12 18:23:35
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
6楼2014-04-13 01:43:40
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
考虑到 解析函数 f(z)=(e^z-1)/z 的最大值和最小值只在边界 |z|=1上取到， 因此画了两个图： 一个是 (e^z-1)的图像， with |z|=1 （红色）, 另一个是模 |e^z-1| （蓝色）.  貌似 min=1-e^{-1}, max=e-1.哪位大神能严格证明之？


Matlab 源程序：
N=500;  th = 0:pi/N:2*pi;
a =exp(cos(th)).*cos(sin(th))-1;
b =exp(cos(th)).*sin(sin(th));
c =sqrt(a.^2 +b.^2);
plot( a, b, 'r', th, c,'b')
一个复数不等式-2
Emuch007.png
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We_must_know. We_will_know.
7楼2014-04-13 11:42:01
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
3楼: Originally posted by dfsvdf at 2014-04-12 18:06:13
不对。e^z-1的值为：

1.png
...

单独出一项sin^2(y) 有问题。
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8楼2014-04-13 16:03:32
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dfsvdf

木虫 (著名写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-13 16:03:32
单独出一项sin^2(y) 有问题。...

嗯，是的，我错了
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9楼2014-04-13 17:17:07
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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
7楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-13 11:42:01
考虑到 解析函数 f(z)=(e^z-1)/z 的最大值和最小值只在边界 |z|=1上取到， 因此画了两个图： 一个是 (e^z-1)的图像， with |z|=1 （红色）, 另一个是模 |e^z-1| （蓝色）.  貌似 min=1-e^{-1}, max=e-1.哪位大神能严 ...

这个题目不需要用数学软件计算吧？
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
10楼2014-04-14 13:32:05
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