应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜    

小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 一个复数不等式
202/2返回列表上一页12
查看: 2521  |  回复: 19
只看楼主 @他人 存档 新回复提醒 (忽略) 收藏    在APP中查看

hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
10楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-14 13:32:05
这个题目不需要用数学软件计算吧？...

数学软件让我们看到要证明的不等式是:

(1- e^{-1}) |z| < |e^z -1| < (e-1) |z|,  当 |z| <1 时.
然而 the more I see, the less I know.

我证明不了上面的不等式, 想请教高明能否写出严格证明.
赞一下 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
11楼2014-04-15 01:43:25
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
11楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 01:43:25
数学软件让我们看到要证明的不等式是:

(1- e^{-1}) |z| < |e^z -1| < (e-1) |z|,  当 |z| <1 时.
然而 the more I see, the less I know.

我证明不了上面的不等式, 想请教高明能否写出严格证 ...

这只要用幂级数e^z=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}代入\mid e^-1\mid中后用三角不等式进行放缩就可以得到所要证明的不等式。
赞一下 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
12楼2014-04-15 03:17:09
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
12楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 03:17:09
这只要用幂级数e^z=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}代入\mid e^-1\mid中后用三角不等式进行放缩就可以得到所要证明的不等式。...

我知道怎么证明 |e^z-1| < (e-1) |z|, 我想知道的是怎么证明
|e^z -1| > (1- e^{-1}) |z|.

我不想要 |e^z-1| > (3-e) |z| 这样粗放的估计, 因为 3-e=0.2817..,
1-e^{-1} =0.632 差的非常多.
赞一下 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
13楼2014-04-15 03:56:31
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
当0<x<1时，
｜e^x-1｜=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}
              =x  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}
              =x(1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!})
              >=x(1-(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}))
              >x(1-(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n!}))
               =x(3-e)
这里当x→1时，\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}→\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n!}=e-2
所以不等式｜e^z-1｜>(3-e)｜z｜不能改进为｜e^z-1｜>(1-1/e)｜z｜
赞一下 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
14楼2014-04-15 04:14:20
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
14楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 04:14:20
当0<x<1时，
｜e^x-1｜=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}
              =x  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}
              =x(1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!})
              &g ...

不妨检查一下逻辑:

|e^x-1| >= x *(...).
当 x--> 1 时, (...) =e-2, 然后 你说:
所以 不等式不能改进.  这有点风马牛不相及啊.

顶多说, 用你所述的放缩法, 不等式所能达到的最好程度.

定理: 当 |z|<1时,  |e^z -1| > (1-e^{-1}) |z|.  求证明. (由图形可知, 定理成立).
赞一下 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
15楼2014-04-15 04:25:00
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
15楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 04:25:00
不妨检查一下逻辑:

|e^x-1| >= x *(...).
当 x--> 1 时, (...) =e-2, 然后 你说:
所以 不等式不能改进.  这有点风马牛不相及啊.

顶多说, 用你所述的放缩法, 不等式所能达到的最好程度.

定理: 当 ...

实数的情形都不能改进，复数更不能够，你所说的命题不成立
赞一下 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
16楼2014-04-15 04:31:30
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
15楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 04:25:00
不妨检查一下逻辑:

|e^x-1| >= x *(...).
当 x--> 1 时, (...) =e-2, 然后 你说:
所以 不等式不能改进.  这有点风马牛不相及啊.

顶多说, 用你所述的放缩法, 不等式所能达到的最好程度.

定理: 当 ...

你不妨否证命题：
-1<x<0,｜e^x-1｜>(1-1/e)｜x｜
这个就是反例
赞一下 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
17楼2014-04-15 04:41:21
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
17楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 04:41:21
你不妨否证命题：
-1<x<0,｜e^x-1｜>(1-1/e)｜x｜
这个就是反例...

反例在哪里呢
这是一个定理, 你如何找到反例的?

你具体找到一个复数z, 满足0< |z|< 1 并且, |e^z-1| < = (1-e^(-1)) |z|, 这样才能推翻该定理.
赞一下 回复此楼
We_must_know. We_will_know.
18楼2014-04-15 04:58:39
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
18楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 04:58:39
反例在哪里呢
这是一个定理, 你如何找到反例的?

你具体找到一个复数z, 满足0< |z|< 1 并且, |e^z-1| < = (1-e^(-1)) |z|, 这样才能推翻该定理....

呵呵,搞错了,可以证明
对于实数0<｜x｜<1,有不等式｜e^x-1｜>(1-1/e)｜x｜
复数的情形如何证明还不清楚，请教了？
赞一下 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
19楼2014-04-15 05:14:08
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
设，试证：
赞一下 回复此楼
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
20楼2014-04-17 19:03:24
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 Edstrayer 的主题更新
202/2返回列表上一页12
普通表情 龙 兔 虎 猫 高级回复 (可上传附件)
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[博后之家] 售SCI文章，我:8O.5.5.1O.54,科目全,可十急 +4 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 4/200 2026-09-29 19:27 by cqwQDCxMcL3I
[考研] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 ZYXdhzDAy9ZX 2026-09-28 4/200 2026-09-29 16:37 by etmYJ6d2rquH
[博后之家] 售SCI-T0P文章，我:8O.5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 ZYXdhzDAy9ZX 2026-09-28 3/150 2026-09-29 16:30 by etmYJ6d2rquH
[考博] 售一区SCI文章T0P，我:8O.551.O54,科目全,可十急 +3 tqUTOxClQUMF 2026-09-28 3/150 2026-09-29 15:46 by etmYJ6d2rquH
[博后之家] 售SCI文章，我:8O5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 tqUTOxClQUMF 2026-09-28 3/150 2026-09-29 15:04 by etmYJ6d2rquH
[公派出国] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O54,科目全,可伽急 +3 tqUTOxClQUMF 2026-09-28 3/150 2026-09-29 14:58 by etmYJ6d2rquH
[考博] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +6 GDBe8tDZqE8z 2026-09-28 6/300 2026-09-29 14:41 by etmYJ6d2rquH
[考研] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 CfXuS1rDhLYN 2026-09-28 3/150 2026-09-29 14:24 by etmYJ6d2rquH
[找工作] 售SCI一区文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可伽急 +6 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 6/300 2026-09-29 14:13 by etmYJ6d2rquH
[博后之家] 售SCI一区文章，我:8.O.551.O.5.4,科目全,可伽急 +3 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 3/150 2026-09-29 13:56 by etmYJ6d2rquH
[公派出国] 售一区SCI文章T0P，我:8O.551.O54,科目全,可十急 +4 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 5/250 2026-09-29 13:50 by etmYJ6d2rquH
[考研] 售一区SCI文章T0P，我:8O.551.O54,科目全,可十急 +3 tqUTOxClQUMF 2026-09-28 3/150 2026-09-29 09:59 by JzYBbHIXWSrW
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 tqUTOxClQUMF 2026-09-28 3/150 2026-09-28 23:46 by b8fCuTHqckEt
[考研] 售SCI一区文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可伽急 +3 GDBe8tDZqE8z 2026-09-28 3/150 2026-09-28 23:12 by b8fCuTHqckEt
[公派出国] 售SCI一区文章，我:8O5.5.1.O5.4,科目全,可伽急 +4 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 4/200 2026-09-28 22:55 by ez6fGg9abYaj
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章，我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 CfXuS1rDhLYN 2026-09-28 4/200 2026-09-28 22:55 by ez6fGg9abYaj
[找工作] 售SCI文章，我:8O.5.5.1O.54,科目全,可十急 +3 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 5/250 2026-09-28 22:32 by ez6fGg9abYaj
[考博] 售SCI文章，我:8O.5.5.1O.54,科目全,可十急 +3 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 6/300 2026-09-28 22:15 by ez6fGg9abYaj
[论文投稿] 售SCI文章，我:8O5.5.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 CfXuS1rDhLYN 2026-09-28 3/150 2026-09-28 19:08 by 9lS3ad5oOymn
[考研] 售一区SCI文章T0P，我:8O.551.O54,科目全,可十急 +3 IDs3scOF0tjC 2026-09-28 4/200 2026-09-28 18:51 by 9lS3ad5oOymn
信息提示
关闭
请填处理意见
关闭