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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 一个复数不等式
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hank612

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10楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-14 13:32:05
这个题目不需要用数学软件计算吧？...

数学软件让我们看到要证明的不等式是:

(1- e^{-1}) |z| < |e^z -1| < (e-1) |z|,  当 |z| <1 时.
然而 the more I see, the less I know.

我证明不了上面的不等式, 想请教高明能否写出严格证明.
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We_must_know. We_will_know.
11楼2014-04-15 01:43:25
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Edstrayer

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11楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 01:43:25
数学软件让我们看到要证明的不等式是:

(1- e^{-1}) |z| < |e^z -1| < (e-1) |z|,  当 |z| <1 时.
然而 the more I see, the less I know.

我证明不了上面的不等式, 想请教高明能否写出严格证 ...

这只要用幂级数e^z=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}代入\mid e^-1\mid中后用三角不等式进行放缩就可以得到所要证明的不等式。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
12楼2014-04-15 03:17:09
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hank612

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12楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 03:17:09
这只要用幂级数e^z=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}代入\mid e^-1\mid中后用三角不等式进行放缩就可以得到所要证明的不等式。...

我知道怎么证明 |e^z-1| < (e-1) |z|, 我想知道的是怎么证明
|e^z -1| > (1- e^{-1}) |z|.

我不想要 |e^z-1| > (3-e) |z| 这样粗放的估计, 因为 3-e=0.2817..,
1-e^{-1} =0.632 差的非常多.
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13楼2014-04-15 03:56:31
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Edstrayer

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当0<x<1时，
｜e^x-1｜=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}
              =x  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}
              =x(1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!})
              >=x(1-(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}))
              >x(1-(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n!}))
               =x(3-e)
这里当x→1时，\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}→\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n!}=e-2
所以不等式｜e^z-1｜>(3-e)｜z｜不能改进为｜e^z-1｜>(1-1/e)｜z｜
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14楼2014-04-15 04:14:20
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hank612

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14楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 04:14:20
当0<x<1时，
｜e^x-1｜=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}
              =x  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}
              =x(1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!})
              &g ...

不妨检查一下逻辑:

|e^x-1| >= x *(...).
当 x--> 1 时, (...) =e-2, 然后 你说:
所以 不等式不能改进.  这有点风马牛不相及啊.

顶多说, 用你所述的放缩法, 不等式所能达到的最好程度.

定理: 当 |z|<1时,  |e^z -1| > (1-e^{-1}) |z|.  求证明. (由图形可知, 定理成立).
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15楼2014-04-15 04:25:00
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Edstrayer

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15楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 04:25:00
不妨检查一下逻辑:

|e^x-1| >= x *(...).
当 x--> 1 时, (...) =e-2, 然后 你说:
所以 不等式不能改进.  这有点风马牛不相及啊.

顶多说, 用你所述的放缩法, 不等式所能达到的最好程度.

定理: 当 ...

实数的情形都不能改进，复数更不能够，你所说的命题不成立
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16楼2014-04-15 04:31:30
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15楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 04:25:00
不妨检查一下逻辑:

|e^x-1| >= x *(...).
当 x--> 1 时, (...) =e-2, 然后 你说:
所以 不等式不能改进.  这有点风马牛不相及啊.

顶多说, 用你所述的放缩法, 不等式所能达到的最好程度.

定理: 当 ...

你不妨否证命题：
-1<x<0,｜e^x-1｜>(1-1/e)｜x｜
这个就是反例
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17楼2014-04-15 04:41:21
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hank612

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17楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 04:41:21
你不妨否证命题：
-1<x<0,｜e^x-1｜>(1-1/e)｜x｜
这个就是反例...

反例在哪里呢
这是一个定理, 你如何找到反例的?

你具体找到一个复数z, 满足0< |z|< 1 并且, |e^z-1| < = (1-e^(-1)) |z|, 这样才能推翻该定理.
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18楼2014-04-15 04:58:39
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18楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 04:58:39
反例在哪里呢
这是一个定理, 你如何找到反例的?

你具体找到一个复数z, 满足0< |z|< 1 并且, |e^z-1| < = (1-e^(-1)) |z|, 这样才能推翻该定理....

呵呵,搞错了,可以证明
对于实数0<｜x｜<1,有不等式｜e^x-1｜>(1-1/e)｜x｜
复数的情形如何证明还不清楚，请教了？
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19楼2014-04-15 05:14:08
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设，试证：
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20楼2014-04-17 19:03:24
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