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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[交流] 一个复数不等式已有3人参与

一个复数不等式：

复变函数复数的不等式001.gif

Let $0<\mid z\mid <1$ ,please proof :

$\frac{1}{4}\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<\frac{7}{4}\mid z\mid$

[ Last edited by Edstrayer on 2014-4-29 at 19:35 ]

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1楼2014-04-12 16:37:13

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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引用回帖:

14楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 04:14:20
当0<x<1时，
｜e^x-1｜=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}
            =x  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}
            =x(1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!})
            &g ...

不妨检查一下逻辑:

|e^x-1| >= x *(...).
当 x--> 1 时, (...) =e-2, 然后你说:
所以不等式不能改进. 这有点风马牛不相及啊.

顶多说, 用你所述的放缩法, 不等式所能达到的最好程度.

定理: 当 |z|<1时, |e^z -1| > (1-e^{-1}) |z|. 求证明. (由图形可知, 定理成立).