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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[交流] 一个复数不等式已有3人参与

一个复数不等式：

复变函数复数的不等式001.gif

Let $0<\mid z\mid <1$ ,please proof :

$\frac{1}{4}\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<\frac{7}{4}\mid z\mid$

[ Last edited by Edstrayer on 2014-4-29 at 19:35 ]

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼2014-04-12 16:37:13

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Edstrayer

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当0<x<1时，
｜e^x-1｜=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}
            =x  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}
            =x(1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!})
            >=x(1-(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}))
            >x(1-(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n!}))
            =x(3-e)
这里当x→1时，\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}→\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n!}=e-2
所以不等式｜e^z-1｜>(3-e)｜z｜不能改进为｜e^z-1｜>(1-1/e)｜z｜