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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 矩阵及其子矩阵的奇异值之间的不等式或者等式关系
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华工大庆

新虫 (初入文坛)

[求助] 矩阵及其子矩阵的奇异值之间的不等式或者等式关系

我是工科专业的，最近把领域内的一个问题转化成一个矩阵的奇异值分解的问题；
描述：一个大的方阵，从中任意抽出一个低维度的方阵，那么这两个矩阵的奇异值有什么不等式或者等式关系？？例如  原矩阵为5x5，抽出3x3，则都进行奇异值分解，那么两个矩阵的奇异值有什么关系？

万分感谢了，求大神！！
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1楼2013-07-04 09:05:08
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aaron1988

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
我不太确定你小的矩阵怎么取。

下面是一个特别的情况
假设大矩阵为 B 维数是mXm， 小矩阵为S，维数是nXn。
如果大矩阵跟小矩阵存在关系为 P'B‘BP=S‘S, P 是转换矩阵，维数是mXn。
假设B是做SVD分解= S* V* D,其中V是奇异值，S,D都是unitary matrix （i.e. S'S=I）
上面式子就是 P'D'V'V DP = P‘D’ V^2 DP = S'S
同样对小矩阵S做SVD分解， S= TYU
那么P’D'V^2 D'P = U'Y^2U
其中V跟Y分别是B跟S的奇异值。
这就是你要的关系，最大的问题是你怎么取P！
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2楼2013-07-04 10:05:13
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hyit_lxq

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
记 A 为 n 阶方阵, Ei(A) 为 A 的第 i 大奇异值; B 为 A 的 k 阶子矩阵, Ei(B) 为 B 的第 i 大奇异值。则: Ei(B)<=Ei(A), i=1,...,k.
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3楼2013-07-04 12:14:38
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hyit_lxq

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

上述结论可证，依据是 Poincare 分离定理。但没有 E(k-j)(B)>=E(n-j)(A), j=0,1,...,k-1.

反例：
A= 5     8     2     6
     4    10     7     9
     8    10     1     5
     7      2     6     4
B= 5     2     6
     8     1     5
     7     6     4
则A的奇异值为：
  24.4924
    6.4060
    5.3395
    0.7592
B的奇异值为：
  15.3963
    3.8311
    2.0684

更多验证可运行如下Matlab程序：

n=randi([2,8]); A=randi(10,n,n);
N=randperm(n); p=min(randi([2,8]),n); P=sort(N(1:p)); B=A(P,P);
svd(A), svd(B)
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4楼2013-07-04 12:23:02
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Halmos

铁虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
Check Horn and Johnson's Topics in Matrix Analysis, singular value inequalities
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5楼2013-07-05 02:33:47
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lynzhung

铁虫 (小有名气)
矩阵论！好高端。貌似没有太多关系！除非都是主对角的
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6楼2013-07-05 09:03:26
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华工大庆

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by aaron1988 at 2013-07-04 10:05:13
我不太确定你小的矩阵怎么取。

下面是一个特别的情况
假设大矩阵为 B 维数是mXm， 小矩阵为S，维数是nXn。
如果大矩阵跟小矩阵存在关系为 P'B‘BP=S‘S, P 是转换矩阵，维数是mXn。
假设B是做SVD分解= S* V*  ...

非常感谢您的回答，这里的小矩阵是可以任意取出来，比如任意选定三行，在选定三列，则可以得到一个小矩阵。您的回答是需要两个矩阵存在关系的，但是想想一下，一个5x5的矩阵的子矩阵数目（1,2,3,4,5维）可以有(2.^5-1)*(2.^5-1) 个。这个就太泛了。说简单点，就是我后面的问题要用到这个矩阵的奇异值，就是我有一个以这些矩阵的奇异值为变量的函数。给你一个5维的矩阵，算出奇异值，带入函数，不一定是最大的，可能子矩阵的某些矩阵，如一个3维的，分解出奇异值后，带入函数反而更大，我就要从原矩阵5x5中找到一个使目标函数最大的矩阵（实际上是因为分解后的奇异值是目标函数最大），这么说，您能理解吗？谢谢您的帮助！希望您能再给些指导！
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7楼2013-07-05 15:22:28
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华工大庆

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hyit_lxq at 2013-07-04 12:14:38
记 A 为 n 阶方阵, Ei(A) 为 A 的第 i 大奇异值; B 为 A 的 k 阶子矩阵, Ei(B) 为 B 的第 i 大奇异值。则: Ei(B)<=Ei(A), i=1,...,k.

非常感谢您的帮助！那么我还想问下，k阶的子矩阵有很多个，怎么能哪个是最大的呢？最接近A的最大奇异值的呢？除了exhaustive search
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8楼2013-07-05 15:25:39
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hyit_lxq

木虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by 华工大庆 at 2013-07-05 15:25:39
非常感谢您的帮助！那么我还想问下，k阶的子矩阵有很多个，怎么能哪个是最大的呢？最接近A的最大奇异值的呢？除了exhaustive search...

纠正一下，B 是 A 的某个 k 阶【主子阵】，则有 Ei(B)<=Ei(A), i=1,...,k.

另外，前面所附 matlab 代码只为验证，不为穷举。
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9楼2013-07-05 19:56:59
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华工大庆

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
9楼: Originally posted by hyit_lxq at 2013-07-05 19:56:59
纠正一下，B 是 A 的某个 k 阶【主子阵】，则有 Ei(B)<=Ei(A), i=1,...,k.

另外，前面所附 matlab 代码只为验证，不为穷举。...

恩恩。比如如果从5x5的矩阵中抽出一个3维子阵，怎么能抽出分解后最大奇异值最大的子阵呢？或者出了exhaustive search的方法，能不能从比如说行或列的相关性等等之类的，直接找到那个最大奇异值最大的矩阵。至少复杂度低些与遍历相比?
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10楼2013-07-06 12:45:57
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