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矩阵及其子矩阵的奇异值之间的不等式或者等式关系
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我是工科专业的，最近把领域内的一个问题转化成一个矩阵的奇异值分解的问题； 描述：一个大的方阵，从中任意抽出一个低维度的方阵，那么这两个矩阵的奇异值有什么不等式或者等式关系？？例如 原矩阵为5x5，抽出3x3，则都进行奇异值分解，那么两个矩阵的奇异值有什么关系？ 万分感谢了，求大神！！ |
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aaron1988
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【答案】应助回帖
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我不太确定你小的矩阵怎么取。 下面是一个特别的情况 假设大矩阵为 B 维数是mXm， 小矩阵为S，维数是nXn。 如果大矩阵跟小矩阵存在关系为 P'B‘BP=S‘S, P 是转换矩阵，维数是mXn。 假设B是做SVD分解= S* V* D,其中V是奇异值，S,D都是unitary matrix （i.e. S'S=I） 上面式子就是 P'D'V'V DP = P‘D’ V^2 DP = S'S 同样对小矩阵S做SVD分解， S= TYU 那么P’D'V^2 D'P = U'Y^2U 其中V跟Y分别是B跟S的奇异值。 这就是你要的关系，最大的问题是你怎么取P！ |
2楼2013-07-04 10:05:13
hyit_lxq
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3楼2013-07-04 12:14:38
hyit_lxq
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【答案】应助回帖
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上述结论可证，依据是 Poincare 分离定理。但没有 E(k-j)(B)>=E(n-j)(A), j=0,1,...,k-1. 反例： A= 5 8 2 6 4 10 7 9 8 10 1 5 7 2 6 4 B= 5 2 6 8 1 5 7 6 4 则A的奇异值为： 24.4924 6.4060 5.3395 0.7592 B的奇异值为： 15.3963 3.8311 2.0684 更多验证可运行如下Matlab程序： n=randi([2,8]); A=randi(10,n,n); N=randperm(n); p=min(randi([2,8]),n); P=sort(N(1:p)); B=A(P,P); svd(A), svd(B) |
4楼2013-07-04 12:23:02
5楼2013-07-05 02:33:47
6楼2013-07-05 09:03:26
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非常感谢您的回答，这里的小矩阵是可以任意取出来，比如任意选定三行，在选定三列，则可以得到一个小矩阵。您的回答是需要两个矩阵存在关系的，但是想想一下，一个5x5的矩阵的子矩阵数目（1,2,3,4,5维）可以有(2.^5-1)*(2.^5-1) 个。这个就太泛了。说简单点，就是我后面的问题要用到这个矩阵的奇异值，就是我有一个以这些矩阵的奇异值为变量的函数。给你一个5维的矩阵，算出奇异值，带入函数，不一定是最大的，可能子矩阵的某些矩阵，如一个3维的，分解出奇异值后，带入函数反而更大，我就要从原矩阵5x5中找到一个使目标函数最大的矩阵（实际上是因为分解后的奇异值是目标函数最大），这么说，您能理解吗？谢谢您的帮助！希望您能再给些指导！ |
7楼2013-07-05 15:22:28
8楼2013-07-05 15:25:39
hyit_lxq
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9楼2013-07-05 19:56:59
10楼2013-07-06 12:45:57
