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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 关于伴随矩阵正定的问题
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zy2031515

银虫 (小有名气)

[求助] 关于伴随矩阵正定的问题

A为实对称矩阵  怎样由A*正定推出A正定呢？
求大神指点
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1楼 2012-11-20 22:38:33
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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
A^*是转置？如果是那么证明如下：令T为可逆矩阵使得 B＝T^{-1}AT为对称矩阵，因为A正定，所以B的对角线上元素全为正数。取转置 A^*的一个对角化为B,从而A^*正定。
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2楼2012-11-20 23:23:08
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
由于A*=aA^{-1}，其中a为正数
（1）由于A对称，所以A*对称。（由A*的定义可得）
（2）设A*的特征值和特征向量分别为b,X，则有：A*X=bX.
左乘A可得：aX=bAX，所以X也是A的特征向量，且a/b为正数（因为A正定）。
所以b>0。
所以得到结论。
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3楼2012-11-21 07:26:34
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09211034

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
伴随矩阵正定，伴随矩阵的特征值a全大于0，而A的特征值是|A|/a，要说明A正定，必须有|A|>0或n为偶数

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生活如此美好
4楼2012-11-21 13:27:08
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zy2031515

银虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 秋雨飞叶 at 2012-11-20 23:23:08
A^*是转置？如果是那么证明如下：令T为可逆矩阵使得 B＝T^{-1}AT为对称矩阵，因为A正定，所以B的对角线上元素全为正数。取转置 A^*的一个对角化为B,从而A^*正定。

这个是伴随……同样感谢~
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5楼2012-11-21 14:20:26
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zy2031515

银虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 09211034 at 2012-11-21 13:27:08
伴随矩阵正定，伴随矩阵的特征值a全大于0，而A的特征值是|A|/a，要说明A正定，必须有|A|>0或n为偶数

题中木有给那么多条件啊
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6楼2012-11-21 14:22:50
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zy2031515

银虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by jfili at 2012-11-21 07:26:34
由于A*=aA^{-1}，其中a为正数
（1）由于A对称，所以A*对称。（由A*的定义可得）
（2）设A*的特征值和特征向量分别为b,X，则有：A*X=bX.
左乘A可得：aX=bAX，所以X也是A的特征向量，且a/b为正数（因为A正定）。
...

应该是A*=|A|A^{-1}吧？   为什么a一定就是正数呢？？
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7楼2012-11-21 14:25:00
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09211034

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by zy2031515 at 2012-11-21 14:22:50
题中木有给那么多条件啊...

那只能分类说明，|A|小于0，A负定，否则正定。

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生活如此美好
8楼2012-11-21 14:55:04
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zy2031515

银虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by 09211034 at 2012-11-21 14:55:04
那只能分类说明，|A|小于0，A负定，否则正定。
...

那试着举个反例看看？？
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9楼2012-11-21 16:10:24
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09211034

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
9楼: Originally posted by zy2031515 at 2012-11-21 16:10:24
那试着举个反例看看？？...

这不是很明显吗？矩阵举例太麻烦了

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生活如此美好
10楼2012-11-21 17:21:32
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