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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】关于伴随矩阵的证明【已解决】
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黑哟

铜虫 (初入文坛)

[交流] 【求助】关于伴随矩阵的证明【已解决】已有4人参与

设n阶矩阵A的伴随阵为A*，证明：
     (1)若|A|=0,则|A*|=0
         (2)|A*|=|A|^（n-1）

[ Last edited by javeey on 2010-5-5 at 11:31 ]
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努力
1楼2010-05-02 21:08:04
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小雨萌萌

铜虫 (文坛精英)

优秀版主
★
javeey(金币+1):谢谢应助 2010-05-02 22:19
黑哟(金币+1): 2010-05-03 21:46
黑哟(金币+1): 2010-05-04 16:36:37
bluesine:小雨把第一个也证明一下：） 2010-05-04 17:09:15
仅证第二个问题。AA*=|A|E，有|A|)|A*|=|A|^n，A可逆则得证。若A不可逆，则)|A|=0。若A=0，则A*=0,若A不等于0，由秩(A)+秩(A*)<=n,有秩(A*)
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2楼2010-05-02 21:31:42
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javeey

荣誉版主 (职业作家)

力拔山兮气盖世

优秀版主优秀版主
★
小雨萌萌(金币+1):谢谢解答。北大版的经典高等代数上几乎是同时讲的哦。 2010-05-03 09:26
黑哟(金币+2): 2010-05-03 21:47
我也来证一下，与2楼不同的是，我的证明不用到矩阵的秩。一般教材讲到伴随矩阵的时候，秩还没讲到。
第二道证明：
由AA*=|A|E知，|A||A*|=|A|^n.
(1) 当|A|不等于0时，显然上式两边同除以|A|即得
(2) 当|A|=0时，采用反证法。假设|A*|不等于0，则A*是可逆矩阵。在等式AA*=|A|E两边同右乘A*的逆矩阵即得A=零矩阵。零矩阵的伴随矩阵当然为零，即A*为零矩阵，与|A*|不等于0矛盾。
第一道证明中取第二道证明之后令|A|=0即可。

多谢bluesine 版主指出笔误部分，已改正。

[ Last edited by javeey on 2010-5-4 at 19:22 ]
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早起的鸟儿有虫吃，早起的虫儿被鸟吃
3楼2010-05-02 22:19:15
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黑哟

铜虫 (初入文坛)
呵呵，本人是初学者
，“在等式AA*=|A|E两边同右乘A*的逆举证即得A=零矩阵”
对这句话不懂，希望能解释一下
谢谢喽！
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努力
4楼2010-05-04 16:48:02
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
★
javeey(金币+1):多谢指出错误 2010-05-04 19:29:23
引用回帖:
Originally posted by javeey at 2010-05-02 22:19:15:
我也来证一下，与2楼不同的是，我的证明不用到矩阵的秩。一般教材讲到伴随矩阵的时候，秩还没讲到。
第二道证明：
由AA*=|A|E知，|A||A*|=|A|^n.
(1) 当|A|不等于0时，显然上式两边同除以|A|即得
(2) 当|A|=0 ...

“假设|A*|不等于0，则A是可逆矩阵。”这个要证明一下吧，呵呵
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板凳要做十年冷文章不发一个字
5楼2010-05-04 17:23:06
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javeey

荣誉版主 (职业作家)

力拔山兮气盖世

优秀版主优秀版主
引用回帖:
Originally posted by bluesine at 2010-05-04 17:23:06:



“假设|A*|不等于0，则A是可逆矩阵。”这个要证明一下吧，呵呵

写错了，应该是“假设|A*|不等于0，则A*是可逆矩阵。”
多谢指出。
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早起的鸟儿有虫吃，早起的虫儿被鸟吃
6楼2010-05-04 19:18:32
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javeey

荣誉版主 (职业作家)

力拔山兮气盖世

优秀版主优秀版主
★ ★
bluesine(金币+2):恩，这个很好。奖励一下 2010-05-05 07:52:50
引用回帖:
Originally posted by 黑哟 at 2010-05-04 16:48:02:
呵呵，本人是初学者
，“在等式AA*=|A|E两边同右乘A*的逆举证即得A=零矩阵”
对这句话不懂，希望能解释一下
谢谢喽！

应该是逆矩阵，已在原帖改正。

AA*(A*)^{-1}=|A|E(A*)^{-1}
因为假设是|A|=0，0乘以任何矩阵都为0矩阵，所以上述等式右边为0矩阵
左边AA*(A*)^{-1}，可将A*(A*)^{-1}结合即得左边为A
所以 A=0矩阵。

[ Last edited by javeey on 2010-5-4 at 19:28 ]
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早起的鸟儿有虫吃，早起的虫儿被鸟吃
7楼2010-05-04 19:21:16
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黑哟

铜虫 (初入文坛)
谢谢
懂了
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努力
8楼2010-05-04 22:55:22
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