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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一道关于商空间的证明题
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Maximuszhao

铁虫 (初入文坛)

[求助] 一道关于商空间的证明题

设V1为线性空间V的子空间，V2为V1的子空间。证明：
dim((V/V2)/(V1/V2))=dim(V/V1)
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1楼 2013-06-18 21:23:45
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

nagami

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
维数论很难，很考验耐力和毅力
dim有代数和拓扑的，这道题显然是代数的。
所以会自然的有2问，什么代数的维数？什么是代数的商空间；
1.代数的维数的定义不能直观臆断，这里的线性空间如果不是有限维的该如何。代数上的维数，我查到的资料是Hamel基，看这个会有帮助http://wenku.baidu.com/view/4b4a412d7375a417866f8f78.html；
2.商空间定义我忘了，但是肯定有个商映射联系着，代数上肯定是要求线性映射；拓扑上自然要求连续映射。
3.所以综合下大家的意见，这题应该怎么理解（个人）：
1）为了证明维数相等，先证明维数在线性同构下是个不变量。“=”按照Hamel基的维数定义，这就该是属于基数的等价类，这么理解。
2）证明这两个空间线性同构，需要仔细审查商空间定义，我觉得可以从商映射复合出来。（把空间分开来，写出商映射）
暂时想到这些
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3楼2013-06-19 11:38:25
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普通回帖

weft

木虫 (正式写手)
这有什么难的? 实际上可以证明更强的结论: 商空间的商空间与商空间是线性同构的, 所以维数相等是自然而然的事情.
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2楼2013-06-19 07:14:57
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leungzipang

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Maximuszhao: 金币+5 2013-06-23 09:28:47
先证明 dim(V1/V2)=dim(V1)-dim(V2)，结论便很自然了。
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4楼2013-06-19 15:28:27
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nagami

木虫 (正式写手)
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4楼: Originally posted by leungzipang at 2013-06-19 15:28:27
先证明 dim(V1/V2)=dim(V1)-dim(V2)，结论便很自然了。

你好，这样做觉得有问题，虽然你的想法是对的，那应该是针对直和，在Euclid space里，X=X1+X2，X1∩X2={0}；dimX=dimX1+dimX2，可行。对于商空间，比如 R^2/R×{1}，我不觉得它的维数是1；
而且维数的“+”和“×”，不那么直观。就像讨论基数的"+"，“×”一样，能避免就劲量避免
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5楼2013-06-19 15:57:38
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nagami

木虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by nagami at 2013-06-19 15:57:38
你好，这样做觉得有问题，虽然你的想法是对的，那应该是针对直和，在Euclid space里，X=X1+X2，X1∩X2={0}；dimX=dimX1+dimX2，可行。对于商空间，比如 R^2/R×{1}，我不觉得它的维数是1；
而且维数的“+”和“× ...

对于商空间，比如 R^2/R×{1}，我不觉得它的维数不是1；
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6楼2013-06-19 15:58:48
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nagami

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by nagami at 2013-06-19 15:58:48
对于商空间，比如 R^2/R×{1}，我不觉得它的维数不是1；...

好吧我承认我眼拙
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7楼2013-06-19 16:00:09
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leungzipang

银虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by nagami at 2013-06-19 16:00:09
好吧我承认我眼拙...

http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra)
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8楼2013-06-20 16:16:41
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nagami

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by leungzipang at 2013-06-20 16:16:41
http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra)...

你是对的，我主观臆断了，R2/RX{0}的维数是1，因为它跟R线性同构。等价类是个整体
也是受益匪浅，我一直在寻找Helmhotlz算子为什么要定义余维数，原来这跟商空间扯上了。
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9楼2013-06-20 16:47:00
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nagami

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by leungzipang at 2013-06-20 16:16:41
http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_space_(linear_algebra)...

“Let C[0,1] denote the Banach space of continuous real-valued functions on the interval [0,1] with the sup norm. Denote the subspace of all functions f ∈ C[0,1] with f(0) = 0 by M. Then the equivalence class of some function g is determined by its value at 0, and the quotient space C[0,1] / M is isomorphic to R."
但是无限维你没法搞，都是连续统的基数，做减法，显然没定义。当然也不会是1.看来只能适用有限维
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10楼2013-06-20 16:57:41
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