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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 求助，函数不等式证明
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hubery.zhu

金虫 (正式写手)

[求助] 求助，函数不等式证明 已有9人参与

求助，遇到这样一道函数不等式证明，哪位数学大神能够给出证明

已知，是一个连续可导的函数，.
证明：一定存在,使得时 有

[ Last edited by feixiaolin on 2015-3-29 at 22:51 ]
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1楼 2015-03-29 17:39:35
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liuqh

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
一个反例
f(x)=x^2
x1=-2,x2=1
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2楼2015-03-29 18:08:02
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蔡超

铁虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
不好意思，手机不好编辑，那我就说说思路吧。由已知的不等式条件，可以得出f(x)为单调减函数。又由于f(x)连续可导，因此又可以得出f'(x)小于等于0.再对x3，x2用一个拉格朗日中值定理，就可以得出结论。希望可以帮到你

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3楼2015-03-29 18:52:59
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蔡超

铁虫 (初入文坛)
feixiaolin: 应助指数-1 2015-03-31 08:13:30
补充:f(x)-f(x2)=f(x3)*（x-x2）>=0

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4楼2015-03-29 18:57:13
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蔡超

铁虫 (初入文坛)
feixiaolin: 屏蔽内容, 重复 2015-03-31 08:14:06
本帖内容被屏蔽
5楼2015-03-29 19:00:30
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蔡超

铁虫 (初入文坛)
feixiaolin: 应助指数-1 2015-03-31 08:13:49
上面的f(x3)应改为f'(x3)，不好意思手机确实不好编辑数学符号

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6楼2015-03-29 19:00:45
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西门出海

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
可以用反证法！与f(x)的连续性相矛盾了！
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7楼2015-03-29 20:07:23
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hubery.zhu

金虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by 蔡超 at 2015-03-29 18:52:59
不好意思，手机不好编辑，那我就说说思路吧。由已知的不等式条件，可以得出f(x)为单调减函数。又由于f(x)连续可导，因此又可以得出f'(x)小于等于0.再对x3，x2用一个拉格朗日中值定理，就可以得出结论。希望可以帮到 ...

感谢你的回答。但是我觉得不一定是”单调减函数“
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耐得住寂寞，抵的住诱惑，拥得了繁华!
8楼2015-03-29 20:27:47
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这是显然的了。
因为f(x)是一个连续可导的函数，当x2>x1时，f(x2)<f(x1)。这说明f(x)是单调递减函数｛由拉格朗日中值定理 ，f(x2)-f(x1)=f '(ξ)*(x2-x1),由于x2和x1的任意性且x2>x1，因此ξ也就具有任意性，故而可知对于任意的x均有：f ‘(x)<0｝
因此，对于任意x，只要满足关系：x1<x<x2，必有f(x1)>f(x)>f(x2) 。从而问题得证。
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9楼2015-03-29 21:07:23
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hubery.zhu

金虫 (正式写手)
feixiaolin: 回帖置顶 2015-03-29 22:50:42
引用回帖:
2楼: Originally posted by liuqh at 2015-03-29 18:08:02
一个反例
f(x)=x^2
x1=-2,x2=1

非常感谢你的回答，原题有笔误，非常抱歉，完整的题目修改如下：

已知，是一个连续可导的函数，.
证明：一定存在,使得时 有

因为原题不能修改把题目重新放在这里，为直观表示，贴上一幅示意图
求助，函数不等式证明
2015-03-29_204424.jpg
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耐得住寂寞，抵的住诱惑，拥得了繁华!
10楼2015-03-29 21:07:34
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